MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ
UNIVERZITA V BRNĚ

M A T E M A T I K A
PŘÍKLADY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY
RNDr. Petr RÁDL a kolektiv


VÝSLEDKY ŘEŠENÍ
zpracováno v programu Mathematica verze 5.2
Ing. Alfred Bodor

Ukázky příkladů k přijímací zkoušce

Př. 1  Výraz   [((((x/y)))^2)-(x/(y^2))]÷(((((x - 1)/y)))^2)  je pro přípustné hodnoty proměnných roven:

         A.  ((x  y)/(x - 1))          B.  (x/(x - 1))           C.  ((x - 1)/x)          D.   (x/(((x - 1))^2))            E.  (x/(1 - x))

Simplify[((((((x/y)))^2) - (x/(y^2)))/(((((x - 1)/y)))^2))]

Podmínky existence zlomku vyřešíme rovnicí pro jmenovatel:

Reduce[{(((((x - 1)/y)))^2) == 0}]

Správná odpověď je B.

Př. 2  Rovnice   5  (x^2) - 12  x + 8 == 0  má v oboru komplexních čísel řešení:

         A.  (Subscript[x, 1, 2])=\(\(-\(6\/5\)\) ± \(2\/5\) i\)          B.    (Subscript[x, 1, 2])=(6/5) ± 4  i            C.  \(nemá\ řešení\)          D.     (Subscript[x, 1, 2])=\(6\/5 ± \(2\/5\) i\)             E.\(\(\ \ \)\(nekonečně\ mnoho\)\)

Solve[5  (x^2) - 12  x + 8 == 0]

Správná odpověď je D.

Jiný postup:
   Pomocí systému Mathematica si nejdříve odvodíme vzorec pro řešení úplné kvadratické rovnice:

Solve[a (x^2) + b x + c == 0, x]

Oba vzorce můžeme přepsat do souhrnného vzorce. Kořeny kvadratické rovnice pak obdržíme dosazením koeficientů a,b,c

x == ((-b ± (Sqrt[(b^2) - 4  a c]))/(2  a)) /. {a -> 5, b -> -12, c -> 8}

Nyní přepišme kvadratickou rovnici do tvaru funkční závislosti y=f(x):
    y == 5  (x^2) - 12  x + 8
a pro názornost zobrazíme ještě grafický průběh této funkce pro nezávisle proměnnou x v oboru reálných čísel:

Plot[5  (x^2) - 12  x + 8, {x, -0.4, 2.8}, 
        PlotStyle -> Hue[Red]];

Parabolická křivka neprotíná osu x a tudíž v oboru reálných čísel rovnice nemá řešení.
Jak výše uvedeno, správná odpověď je D.

Př. 3  Množina všech řešení nerovnice   ((x + 2)/(5 - x)) ≤ 2  v oboru ℝ je:

         A.  (-∞, 
                    (8/3)) ⋃ (5, ∞)          B.    ⟨(8/3), 
                          5)            C. (-∞, ∞)          D.     (-∞, 
                          (8/3)⟩             E.\(\(\ \ \)\(\(\((\(-∞\), 
                      8\/3\)\(⟩\)\) ⋃ \((5, ∞)\)\)\)

Solve[((x + 2)/(5 - x)) ≤ 2, x]

Pomocí Solve tedy v systému Mathematica nerovnice řešit nelze.

Pomoci může doplněk InequalitySolve:

<< Algebra`InequalitySolve`
InequalitySolve[((x + 2)/(5 - x)) ≤ 2, x]

K řešení nerovnice lze použít také Reduce.

Reduce[((x + 2)/(5 - x)) ≤ 2, x]

Řešení nerovnice lze znázormit graficky s použitím standardního doplňku <<Graphics`InequalityGraphics`

<< Graphics`InequalityGraphics`
InequalityPlot[ ((x + 2)/(5 - x)) ≤ 2,  {x, -5, 
        10} ,  {y, -1, 1}]

Správná odpověď je E.

Př. 4  K danému grafu vyberte správný funkční předpis:

        
       
         A.  y = 2  cos x          B.    y=2  cos x+1      C.  y = 2  sin x
D.   \(\(\ \)\(y = \(\(|\)\(cos\ x\)\(|\)\)\)\)             E.  y = cos  2  x

Zobrazíme tedy grafy funkcí dle variant odpovědi A až E:

grA := 
        Plot[2  Cos[x], {x, -2 π, 2  π}, 
          AxesLabel -> {x, "A: y=2cos(x)"}, 
          Hue[Red]];
grB := 
        Plot[Cos[x] + 1, {x, -2 π, 2  π}, 
          AxesLabel -> {x, "B: y=cos(x)+1"}];
grC := 
        Plot[2  Sin[x], {x, -2 π, 2  π}, 
          AxesLabel -> {x, "C: y=2sin(x)"}];
grD := 
        Plot[Abs[Cos[x]], {x, -2 π, 2  π}, 
          AxesLabel -> {x, "D: y=|cos(x)|"}];
grE := 
        Plot[Cos[2  x], {x, -2 π, 2  π}, 
          AxesLabel -> {x, "E: y=cos(2x)"}];
Show[GraphicsArray[{{grA, grB}, {grC, grD}, {grE}}]]

Správná odpověď je B.

Př. 5  Je/ li posloupnost   \(TraditionalForm\`{2\^\(n + 1\)\/\((\(-3\))\)\^n}\_\(n = 1\)\%∞\)  geometrická, je (Subscript[s, 5]):

         A.  -(220/243)          B.    -(844/243)            C.   není geometrická          D.     -(55/81)             E.  (220/81)

Vypočteme součet prvních pěti členů nekonečné řady:

(∑_(n = 1)^5) ((2^(n + 1))/(((-3))^n))

Zobrazíme graf prvních pěti členů řady:

Table[((2^(n + 1))/(((-3))^n)), {n, 5}]

Pomocí limity pro n -> ∞ zjistíme konvergenci posloupnosti:

Limit[((2^(n + 1))/(((-3))^n)), n -> ∞]

Konvergenci prvků geometrické řady zobrazíme graficky:

\(\(ListPlot[Table[2\^\(n + 1\)\/\((\(-3\))\)\^n, {n, 15}], 
        AxesLabel -> {"n", \*""\!\(s\_n\)""}, 
        AxesOrigin -> {0, 0}, 
        PlotStyle -> {Hue[ .6], PointSize[0.02]}];\)\)

Správná odpověď je tedy A.

Př. 6  Rovnostranný kužel má výšku v. Jeho povrch je:

         A.  π (v^2)          B.    3  π (r^2)            C.   3  π (v^2)          D.     ((π (v^2))/2)             E.  4  π (v^2)

Obsah podstavy:  π (r^2)
Obsah pláště:       π r s,  přičemž pro rovnostranný rotační kužel platí s = 2  r

S = π (r^2) + π r*2  r

Př. 7  Rovnice   sin (x/2) + sin x = 0  má v oboru ℜ řešení:

         A.  (Subscript[x, 1]) = 2  k π,   (Subscript[x, 2]) = ((4 π)/3) + 4  k π,   (Subscript[x, 3]) = ((8 π)/3) + 4  k π
 B.  (Subscript[x, 1]) = 2  k π,   (Subscript[x, 2])=((5 π)/3)+2k π        C.   (Subscript[x, 2]) = (( π)/2) + 
                                k π 
D.  (Subscript[x, 1]) = k π,   (Subscript[x, 2]) = ((2 π)/3) + 2  k π,   (Subscript[x, 3]) = ((4 π)/3) + 2  k π
E.  (Subscript[x, 1]) = ((10 π)/6) + 4  k π,   (Subscript[x, 2]) = ((14 π)/6) + 4  k π

Ukážeme si, zda lze řešit goniometrickou rovnici pomocí Solve:

Solve[Sin[(x/2)] + Sin[x] == 0, x]

Systém Mathematica hlásí, že nemusela být nalezena všechna řešení, doporučuje použít Reduce:

Reduce[Sin[(x/2)] + Sin[x] == 0, x]

Řešení přepíšeme (konstantu (Subscript[c, 1]) nahradíme používanějším symbolem k a upravíme):

(x=4 k π ∨ x=4 π k ± ((4 π)/3) ∨ x = 
                4 π k + 2 π)∧k ∈ ℤ

Periodicitu funkce  sin (x/2) + sin x  lze názorně vysledovat pomocí grafu funkce:

Plot[Sin[(x/2)] + Sin[x], {x, -8 π, 8  π}, 
      PlotStyle -> Hue[Red]]

Správná odpověď je tedy A.

Př. 8  Rovnice   (Sqrt[x - 5]) + (Sqrt[10 - x])=3  má v oboru ℜ řešení:

         A.    6,       B.    6; 9,       C.    2; 6,      D.\(\(\ \ \ \ \)\(nemá\ řešení\)\),      E.    9

Pro řešení algebraické rovnice použijeme Solve:

Solve[(Sqrt[x - 5]) + (Sqrt[10 - x]) == 3, x]

Správná odpověď je tedy B.

Př. 9  Rovnice   (4/((2^(x + 1))))=16(Sqrt[(((0.25))^(5 - x))])  má v oboru ℜ řešení:

         A.    (1/2),       B.    1,       C.    2,      D.   0,      E.    -1

Pro řešení algebraické rovnice použijeme Solve:

Solve[(4/(2^(x + 1))) == 16 (Sqrt[ (0.25^(5 - x))]), x]

Systém Mathematica hlásí, že nemusela být nalezena všechna řešení, doporučuje použít Reduce:

Reduce[(4/(2^(x + 1))) == 16 (Sqrt[ (0.25^(5 - x))]), x]

Systém Mathematica hlásí, že nebylo lze provést řešení s nepřesnými koeficienty. Výsledek byl získán řešením korespondujícího přesného systému a vyčíslením výsledku. Nicméně v oboru reálných čísel byl nalezen kořen x = 1. který se obdrží dosazením (Subscript[c, 1])=0 do vztahu  x==(0.` + 
                  9.064720283654387` i) (Subscript[c, 1])+1.` (pozn. (Subscript[c, 1]) je celočíselná konstanta).

Systém Mathematica dále nabízí numerickou (čili nealgebraickou) metodu řešení rovnice:

NSolve[(4/(2^(x + 1))) == 16 (Sqrt[ (0.25^(5 - x))]), x]

Systém Mathematica opět hlásí, že nemusela být nalezena všechna řešení a že doporučuje použít Reduce:

Proveďme zkoušku substituční metodou:

(4/(2^(x + 1))) == 16 (Sqrt[ (0.25^(5 - x))]) /. 
      x -> 1

Po dosazení x -> 1 do rovnice se levá strana rovnice rovná pravé straně, x = 1 je řešením rovnice.

Plot[{(4/(2^(x + 1))), 16 (Sqrt[ (0.25^(5 - x))])}, {x, -1, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}]

Grafickým řešením je průsečík obou křivek a ten má x-ovou souřadnici 1.

Správná odpověď je tedy B.

Př. 10  Rovnice   (1/2)(Subscript[log, 2]) (x + 3)+(Subscript[log, 2]) ((Sqrt[x - 3]) = 2)  má v oboru ℜ řešení:

         A.    (Sqrt[13]),       B.    5,       C.    -5,      D.   ±5,      E.\(\(\ \ \ \ \)\(nemá\ řešení\)\)

Pro řešení logaritmické rovnice použijeme Solve:

Solve[(1/2) Log[2, x + 3] + Log[2, (Sqrt[x - 3])] == 2, 
      x]

O správnosti řešení se přesvědčíme dosazením x->5 do rovnice:

(1/2) Log[2, x + 3] + Log[2, (Sqrt[x - 3])] == 2 /. 
      x -> 5

Systém Mathematica hlásí, že dosáhl limitu interní 50ti místné přesnosti při vyhodnocení ((log(8))/(2 log(2))) - (3/2). Provedeme ještě vyčíslení tohoto výrazu:

N[(1/2) + Log[8]/(2  Log[2])]

Správná odpověď je tedy B.

Řešené příklady

Ukázka I

Zde jsou uvedeny jen výsledky řešení příkladů pomocí systému Mathematica, neboť postup jejich ručního řešení je uveden ve sbírce Matematika - příklady pro přijímací zkoušky.

Př. 1  Výraz   ( ({{n}, {2}}) )+( ({{n - 1}, {n - 3}}))  je pro přípustné hodnoty přirozeného čísla n roven::

         A.    2(n^2)-4  n,       B.    (n^2)-3  n+2,       C.    (((n - 1))^2),      D.  (( (((n - 1))^2))/2),      E.    (n^(2 + 1))

Simplify[Binomial[n, 2] + Binomial[n - 1, n - 3]]

Správná odpověď je C.

Př. 2  Soustava rovnic  ((x + 1)/3) - ((y + 2)/4) == ((2 (x - y))/5)
((x - 3)/4) - ((y - 3)/3)==2  y - x  má v oboru ℝ řešení:

       A.    x=-16,y = 6,       B.    x=11,y = 6,       C.    \(nekonečně\ mnoho\),      D.    x = -11, y = 6,      E.\(\(\ \ \ \ \)\(nemá\ řešení\)\)

Solve[{
((x + 1)/3) - ((y + 2)/4) == ((2 (x - y))/5), 
((x - 3)/4) - ((y - 3)/3) == 
          2  y - x
}]

Správná odpověď je B.

Př. 3  Funkce   y == Log (Sqrt[ 4 - (x^2)])  má v množině reálných čísel definiční obor:

         A.    (-∞, 2),       B.    (-∞, -2)⋃(2, ∞),       C.    (-2, 2),      D.    ⟨-2, 2),      E.\(\(\ \ \ \ \ \)\(\((\(-∞\), \(-2\)⟩\) ⋃ ⟨2, ∞)\)\)

Jelikož je logaritmická funkce v oboru ℝ definována pro hodnoty argumentu x > 0, musí být i odmocněnec kladné reálné číslo, pak definiční obor funkce určíme pomocí Reduce takto:

Reduce[4 - (x^2) > 0, x]

Správná odpověď je C.

Př. 4  K danému grafu vyberte správný funkční předpis

     A.    y=(x^3) - 1,       B.    y=(((x - 1))^3),       C.    y = tg(x - 1),      D.    y = (((x + 1))^3),      E.     y = (x^3) + 1

\(Plot[\((x - 1)\)\^3, {x, \(-1\), 5}, PlotStyle -> Hue[Red], 
      AxesLabel -> {x, \*""B: y=(x-1\!\(\()\^3\)\)""}]\)

Správná odpověď je B.

Př. 5  Rovnice   (x^2) - ((x^2)/5) + ((x^2)/25) - 
              ((x^2)/125) +   ... .  = 30  má v oboru R řešení:

         A.    nekonečně mnmoho,       B.   nemá řešení,       C.    (Subscript[x, 1, 2]) = ±2 (Sqrt[6]),      D.   (Subscript[x, 1, 2]) = ±6,      E.    (Subscript[x, 1, 2]) = ±6 (Sqrt[5])

Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, kde koeficient při kvadratickém členu je dán geometrickou nekonečnou řadou. Systém Mathematica disponuje nástroji pro vyřešení této úlohy v jednom lroku:

Solve[(∑_(i = 0)^∞)(((-1))^i) 
            ((x^2)/(5^i)) == 30, x]

Správná odpověď je B.

Př. 6  Přímka, která prochází bodem  A[1,-2]  a je kolmá na přímku  p=KL, K[4,-3], L[-5,3], má obecnou rovnici 

         A.    3x-2  y-7=0,       B.   2x-3  y-4=0,       C.   3  x + 2  y + 1 = 0,      D.   2  x + 3  y + 8 = 0,      E.    3  x - 2  y + 1 = 0

Definujme body A, K, L a vypočítejme směrový vektor n přímky p, která je dána body K,L. Ten bude současně normálovým vektorem n přímky, která je kolmá k přímce p:

A = {1, -2}; K = {4, -3}; 
    L = {-5, 3};
n = L - K

Obecná rovnice přímky:  a x + b y + c = 0 do níž za a, b dosadíme složky normálového vektoru.

rovnice = 
      a x + b y + c == 0 /. {a -> n[[1]], 
          b -> n[[2]]}

Přímka q prochází bodem A, jeho souřadnice dosadíme do této rovnice a vypočteme c. Tím obdržíme řešení.

Solve[rovnice /. {x -> A[[1]], y -> A[[2]]}, 
      c]

Dosazením c -> 21 do rovnice obdržíme řešení:

rovnice /. c -> 21 // Simplify

Správná odpověď je A.

Př. 7  Rovnice  (((sin^2) x - (cos^2) x)/(sin x - cos x)) - 
          sin x = ((Sqrt[3])/2)  má v oboru R pro přípustné hodnoty x řešení:

         A.   (Subscript[x, 1])=(π/3) + 2  k π, (Subscript[x, 2])=((2  π)/3)+2k π       B.   (Subscript[x, 1])=(π/6) + 2  k π, (Subscript[x, 2]) = ((5  π)/6) + 2  k π,       C.    (Subscript[x, 1]) = (π/6) + 2  k π, (Subscript[x, 2]) = ((11  π)/6) + 2  k π,      D.   (Subscript[x, 1]) = (π/3) + 2  k π,  
                  (Subscript[x, 2]) = ((5  π)/3) + 2  k π,      E.    (Subscript[x, 1]) = (π/4) + 2  k π,  
                (Subscript[x, 2]) = ((7  π)/4) + 2  k π

Reduce[((Sin[x]^2 - Cos[x]^2)/(Sin[x] - Cos[x])) - 
          Sin[x] == ((Sqrt[3])/2), x]

Řešení přepíšeme do obvyklého tvaru:
\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(x = \((\(-\(π\/6\)\) + 2  k\ π\ \  ∨ \ x = π\/6 + 2  k\ π)\) ∧ 
          k ∈ ℤ\)\)\)
       což je také:
\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(x = \((\(11  π\)\/6 + 2  k\ π\ \  ∨ \ x = π\/6 + 2  k\ π)\) ∧ 
          k ∈ ℤ\)\)\)

Správná odpověď je C.

Př. 8  Rovnice   (Sqrt[(x^2) + 3 (Sqrt[ x])]) == x + 1  má v oboru R řešení:

         A.    1,       B.   (2/3);1,       C.    0; (4/3),      D((.4)/3),      E.    (5/6); (4/3)

Solve[(Sqrt[(x^2) + 3 (Sqrt[ x])]) == x + 1, x]

Provedeme zkoušku správnosti řešení dosazením nalezených kořenů do rovnice:

(Sqrt[(x^2) + 3 (Sqrt[ x])]) == 
        x + 1 /. {{x -> (1/4)}, {x -> 1}}

Provedeme ještě řešení numerickou metodou:

NSolve[(Sqrt[(x^2) + 3 (Sqrt[ x])]) == x + 1, x]

Výsledek řešení numerickou metodou se shoduje s výsledkem algebraické metody. Není ovšem shoda s žádnou z nabízených variant.

Př. 9  Rovnice  (81/(3^(1 - x))) - 3*(4^x) == 6*(4^(x + 1))  má v oboru R řešení:

         A.    -(3/4),       B.   1,       C.    0,      D-2,      E.    (4/3)

Reduce[(81/(3^(1 - x))) - 3*(4^x) == 6*(4^(x + 1)), x]

Konstanta (Subscript[c, 1]) je celočíselná konstanta. Dosadíme-li (Subscript[c, 1])->0, má zlomek hodnotu 0, což je v oboru ℝ

Správná odpověď je C.

Př. 10  Rovnice  ((((x/4)))^((Subscript[Log, 2]) x)) == (1/2)  má v oboru R řešení:

         A.    nemá řešení,       B.   2,       C.    1,      D.   10,      E.    (Subscript[log, 2]) 1

Solve[((((x/4)))^Log)[2, x] == (1/2), x]

Systém Mathematica nemůže nalézt řešení transcendentní rovnice, jelikož neznámá se vyskytuje jako atgument složené funkce. Pokusíme se tedy najít řešení pomocí Reduce:

Reduce[((((x/4)))^Log)[2, x] == (1/2), x]

To vypadá složitě, nicméně se v řešení objevila v oboru ℝ hodnota 2. Provedeme tedy zkoušku dosazením hodnoty x->2 do levé strany rovnice:

((((x/4)))^Log)[2, x] /. x -> 2

Levá strana rovnice se rovná pravé, hodnota x->2 je tedy řešením rovnice v ℝ. Pokusme se ještě získat řešení numerickou metodou FindRoot.

FindRoot[((((x/4)))^Log)[2, x] == (1/2), {x, 1}]

Exaktní ruční řešení úlohy je uveden ve sbírce na str. 19 (kromě logaritmování a úprav rovnice vede na řešení kvadratické rovnice).

Správná odpověď je tedy B.

Ukázka II

Př. 1  Vypočítejte   \(\(2 + 3  i\)\/\(3 + 4  i\) - \(3 - 4  i\)\/\(2 - 3  i\)\) a výsledek vyjádřete v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):
   
         A.    -(216/323)-(12/323) i,       B.   (216/325)+(12/325) i,       C.\(\(\ \ \ \ \)\(\(216\/323 + \(12\/323\) i\)\(,\)\(\ \ \ \ \ \ \)\)\)D.   -(12/(18 - i)),      E.\(\(\ \ \ \ \)\(\(-\(216\/325\)\) - \(12\/325\) i\)\)

((2 + 3  I)/(3 + 4  I)) - ((3 - 4  I)/(2 - 3  I))

Správná odpověď je E.

Př. 2  Rovnice  \(\(x - 1\)\/\(2 \((x - 3)\)\) - \(7  x - 9\)\/\(3 \((3 - x)\)\) == \(4  x - 7\)\/\(x - 3\)\) má v oboru ℝ řešení:
   
         A.    žádné,       B.   nekonečně mnoho,       C.    x = 3,      D.   x=(1/3),      E.   x=(57/35)

Solve[((x - 1)/(2 (x - 3))) - ((7  x - 9)/(3 (3 - x))) == ((4  x - 7)/(x - 3)), x]

Systém Mathematica nenalezl řešení. Rovnici převedeme do implicitního tvaru a zjednodušíme levou stranu:

Simplify[((x - 1)/(2 (x - 3))) - ((7  x - 9)/(3 (3 - x))) - ((4  x - 7)/(x - 3))]

Vskutku L=-(7/6)  ≠  P=0 strany rovnice si nejsou rovny, řešení tedy neexistuje.

Správná odpověď je A.

Př. 3  Množina všech řešení nerovnice  -(x^2) + 2  x + 1 > 0  v oboru ℝ je:
   
         A.    prázdná,       B.  (-∞, 1 - (Sqrt[2]))⋃(1 + (Sqrt[2]), ∞),       C.    (1 - (Sqrt[2]), 
                    1 + (Sqrt[2])),      D.   (-1 - (Sqrt[2]), -1 + (Sqrt[2])),      E.    (-∞, -1 - (Sqrt[2]))⋃(-1 + (Sqrt[2]), ∞)

Reduce[-(x^2) + 2  x + 1 > 0, x]

Správná odpověď je B.

Př. 4  K danému grafu vyberte správný funkční předpis:

   
         A.    y=((((1/2)))^x) - 1,       B. y=((((1/2)))^(x - 1)),       C.    y = 
                      (Subscript[log, (1/2)]) (x - 1),      D.  y=(1/x) - 1,      E.   y=(Subscript[log, (1/2)]) (x + 1)

Plot[Log[(1/2), x - 1], {x, 1.05, 4}, 
      PlotStyle -> Hue[Red]]

Správná odpověď je C.

Př. 5  Součet všech dvojciferných sudých přirozených čísel je:

           A.    2376,       B.    2430,       C.    2700,      D.  2916,      E.   2970

Sum[i, {i, 10, 98, 2}]

Správná odpověď je B.

Př. 6  Určete poměr stran trojúhelníka, ve kterém jsou úhly v poměru  1 : 2 : 3

           A.    1:(Sqrt[3]) : 2,       B. 1:2 : 3,       C.    1 : (Sqrt[2]) : 
                        3,      D.  1:(Sqrt[2]) : (Sqrt[3]),      E.   1:(Sqrt[3]) : 2 (Sqrt[ 2])

Nejdříve vpočteme velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku v obloukové míře. Pro řešení napíšeme soustavu rovnic:

Solve[{
α + β + γ == π, 
            β == 
          2  α, 
         2 γ == 3  β
}]

Pro stanovení vzájemného poměru velikosti stran použijeme sinovou větu:
(a/(sin α)) = (b/(sin β)) = 
          (c/(sin γ))
A tedy pro poměr stran (a/b) = ((sin α)/(sin β)) a pro poměr stran (b/c) = ((sin β)/(sin γ))

Sin[α]/Sin[β] /. {α -> (π/6), β -> (π/3)}
Sin[β]/Sin[γ] /. {β -> (π/3), γ -> (π/2)}

Strany trojůhelníku jsou v poměru  1 : (Sqrt[3]) : 2

Správná odpověď je A.

Př. 7  Rovnice  2 (1 - (sin^2) x) = 2 + 3  cos x  má v oboru ℝ pro přípustné hodnoty x řešení:

            A.   (Subscript[x, 1])=(π/3) + 2  k π, (Subscript[x, 2])=((2  π)/3)+2k π       B.   (Subscript[x, 1])=(π/6) + 2  k π, (Subscript[x, 2]) = ((5  π)/6) + 2  k π,       C.    (Subscript[x, 1]) = (π/6) + 2  k π, (Subscript[x, 2]) = ((11  π)/6) + 2  k π,      D.   (Subscript[x, 1]) = ((4  π)/3) + 
                          2  k π,  
                      (Subscript[x, 2]) = ((5  π)/3) + 2  k π,      E.    (Subscript[x, 1]) = ((2  π)/3) + 
                        2  k π,  
                    (Subscript[x, 2]) = ((4  π)/3) + 2  k π

Reduce[2 (1 - Sin[x]^2) == 2 + 3  Cos[x], x]

Z toho vybereme řešení v oboru reálných čísel:
\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(x = \((\(-\(\(2  π\)\/3\)\) + 2  k\ π\ \  ∨ \ x = \(2  π\)\/3 + 
                2  k\ π)\) ∧ 
          k ∈ ℤ\)\)\)
což je:
\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(x = \((\(4  π\)\/3 + 2  k\ π\ \  ∨ \ x = \(2  π\)\/3 + 
                2  k\ π)\) ∧ 
          k ∈ ℤ\)\)\)

Správná odpověď je E.

Př. 8  Rovnice  (Sqrt[4 + 3  x]) + (Sqrt[4 - 3  x]) = (Sqrt[6  x]) má v oboru ℝ řešení:
   
         A.    1,       B.  (2/3);1,       C.   0; (4/3),      D.   (4/3),      E.   (5/6);(4/3)

Reduce[(Sqrt[4 + 3  x]) + (Sqrt[4 - 3  x]) == (Sqrt[6  x]), 
      x]

Správná odpověď je D.

Př. 9  Rovnice  (Subscript[log, 2]) (7 + (2^(-x)))=x+3  má v oboru ℝ řešení:
   
         A.    -(1/8);1,       B.  -3;0,       C.   1,      D.   0,      E.   2

Reduce[Log[2, 7 + (2^(-x))] == x + 3]

V oboru ℝ má rovnice řešení x = 0.

Správná odpověď je D.

Př. 10  Rovnice  log (x + 1) + log (x - 1) = 
            log (x - 2) + log 8  má v oboru ℝ řešení:
   
         A.    3,       B.  -3;-5,       C.  5,      D.   3;5,      E.   nemá řešení

Solve[Log[x + 1] + Log[x - 1] == Log[x - 2] + Log[8], 
      x]

Správná odpověď je D.

Příklady na procvičení

\(3.1\ \ \ Úprava\ výrazů\)

Př. 1   Vypočtěte:   4(Subscript[log, 6]) 3+5(Subscript[log, 6]) 2-(Subscript[log, 6]) 12

4  Log[6, 3] + 5  Log[6, 2] - Log[6, 12] // FullSimplify

Př. 2   Vypočtěte:   2  (Subscript[log, 4]) (2/25)-4(Subscript[log, 4]) (2/5)+2

2  Log[4, (2/25)] + 4  Log[4, (2/5)] + 2 // FullSimplify

Př. 3   Vypočtěte:   3  (Subscript[log, (1/3)]) (3/4) - 2  (Subscript[log, (1/3)]) (3/8) + 1

3  Log[(1/3), (3/4)] - 2  Log[(1/3), (3/8)] + 1 // Simplify

Př. 4  Vypočtěte:   2  (Subscript[log, 3]) (5/9)+3  (Subscript[log, 3]) (9/5)-(Subscript[log, 3])(1/5)

2  Log[3, (5/9)] + 3  Log[3, (9/5)] - Log[3, (1/5)] // 
      FullSimplify

Př. 5   Vypočtěte:   5(Subscript[log, 2]) (4^(1/3))-4  (Subscript[log, 2]) (4^(1/6))+(1/2)(Subscript[log, 2])(4^8)

5  Log[2, (4^(1/3))] - 4  Log[2, (4^(1/6))] + (1/2) Log[2, (4^8)] // 
      Simplify

Př. 6   Vypočtěte:   ((((Subscript[log, 6]) 2))^2)+(Subscript[log, 6]) 2  (Subscript[log, 6]) 3+(Subscript[log, 6]) 3-(Subscript[log, 6]) 1

(((Log[6, 2]))^2) + Log[6, 2] Log[6, 3] + Log[6, 3] - Log[6, 1] // 
      FullSimplify

Př. 7   Vypočtěte:   (Subscript[log, 5]) (1/25)-((((Subscript[log, (1/3)]) 9))^2)+(Subscript[log, (1/2)])(4^2)

Log[5, (1/25)] - (((Log[(1/3), 9]))^2) + Log[(1/2), (4^2)] // 
      Simplify

Př. 8   Vypočtěte:  \(\((10\^\(1\/3\)*8\^\(-\(1\/2\)\))\)\^\(-3\)\/\((25\^\(1\/4\)*4\^\(1\/8\))\)\^\(-2\)\)

(((((10^((1/3)))*(8^(-(1/2)))))^(-3))/((((25^((1/4)))*(4^((1/8)))))^(-2))) // Simplify

Př. 9   Vypočtěte:  \(\@\(2 \@ 4\%3\)\/\@\(2 \@ 8\%4\)\%3\)

\(\@\(2 \@ 4\%3\)\/\@\(2 \@ 8\%4\)\%3 // FullSimplify\)

Př. 10   Vypočtěte:  \(\(\(\(\@6\) 
                12\^\(\(-1\)\/3\)\)\/\(\(3\^\(1\/2\)\) \@\(4\^\(-1\)\)\%3\)\) \@\(9\/8\)\%3\)

(((Sqrt[6]) 
              (12^(((-1)/3))))/((3^((1/2))) (((4^(-1)))^(1/3)))) (((9/8))^(1/3)) // FullSimplify

Př. 11   Zjednodušte:  (([\(\((\(-x\))\)\^\(\(-2\) n\)÷\((\(-x\))\)\^\(\(-2\) n - 1\)\)])^(-2))*\(\([\((\(-x\))\)\^\(2  n + 1\)*\((\(-x\))\)\^\(\(-2\) n + 1\)]\)\^\(-3\)\)

(((((((-x))^(-2 n))/(((-x))^(-2 n - 1)))))^(-2))*((((((-x))^(2  n + 1))*(((-x))^(-2 n + 1))))^(-3)) // Simplify

Př. 12   Zjednodušte:  \(\((\(\(x\^\(-2\)\) \(y\^2\) z\^\(-2\)\)\/\(\(x\^0\) y\^8\))\)\^\(-2\)÷\(\(\(x\^2\) z\^3\)\/\(\(x\^\(-4\)\) y\^7\)\)\)

((((((x^(-2)) (y^2) (z^(-2)))/((x^0) (y^8)))))^(-2))÷(((x^2) (z^3))/((x^(-4)) (y^7))) // Simplify

Př. 13   Zjednodušte:  (((m^3) + 216)/(5  m - 30))÷(m + 
              (36/(m - 6)))

(((m^3) + 216)/(5  m - 30))÷(m + (36/(m - 6))) // 
      Simplify

Př. 14   Zjednodušte:  (((m/3) + (27/m) + 3)/((m/9) - (81/(m^2))))

(((m/3) + (27/m) + 3)/((m/9) - (81/(m^2)))) // Simplify

Př. 15   Zjednodušte:  ((((a^2)/2) + (32/a))/((a/4) + (4/a) - 1))

((((a^2)/2) + (32/a))/((a/4) + (4/a) - 1)) // Simplify

Př. 16   Zjednodušte:  (1 + 
              (a/(1 + a)))÷(1 - ((3  (a^2))/(1 - (a^2))))

(1 + (a/(1 + a)))÷(1 - ((3  (a^2))/(1 - (a^2)))) // 
      Simplify

Př. 17   Zjednodušte:  \(\((v + \(u - v\)\/\(1 + u\ v\))\)÷\((1 - \(v \((u - v)\)\)\/\(1 + u\ v\))\)\)

(v + ((u - v)/(1 + u v)))÷(1 - ((v (u - v))/(1 + u v))) // Simplify

Př. 18   Zjednodušte:  (2 - (1/((Sqrt[x]) + 1))) (1 + ((Sqrt[x])/((Sqrt[x]) - 1))) - 
          (3/(x - 1))

(2 - (1/((Sqrt[x]) + 1))) (1 + ((Sqrt[x])/((Sqrt[x]) - 1))) - (3/(x - 1)) // 
      Simplify

Př. 19   Zjednodušte:  \(\((\(\@a + 2\)\/\(\@a - 2\) - \(\@a - 2\)\/\(\@a + 2\))\) \((\@a - 4\/\@a)\)\)

((((Sqrt[a]) + 2)/((Sqrt[a]) - 2)) - (((Sqrt[a]) - 2)/((Sqrt[a]) + 2))) ((Sqrt[a]) - 
            (4/(Sqrt[a]))) // Simplify

Př. 20   Zjednodušte:  \(\((\(1 + \@x\)\/\(1 - \@x\) + \(1 - \@x\)\/\(1 + \@x\))\)÷\(\((x + 1)\)\^2\/\(1 - x\^2\)\)\)

(((1 + (Sqrt[x]))/(1 - (Sqrt[x]))) + ((1 - (Sqrt[x]))/(1 + (Sqrt[x]))))÷((((x + 1))^2)/(1 - (x^2))) // Simplify

Př. 21   Zjednodušte:  \(\(\((n - 2)\)!\)\/\(\((n - 3)\)!\) - \(\((n - 1)\)!\)\/\(\((n - 2)\)!\)\)

(((n - 2)!)/((n - 3)!)) - (((n - 1)!)/((n - 2)!)) // FullSimplify

Př. 22   Zjednodušte:  (1/((n - 2)!)) + (((n^2) - n)/((n - 1)!))

(1/((n - 2)!)) + (((n^2) - n)/((n - 1)!)) // 
      Simplify

% // FullSimplify

Jak vidno, systém Mathematica má s úlohou poněkud potíže. Upravme tedy nejdříve první zlomek ručně:

((n - 1)/((n - 1)!)) + (((n^2) - n)/((n - 1)!)) // 
      Simplify

Př. 23   Zjednodušte:  \(\(n!\)\/\(\((n - 1)\)!\) + \(\((n + 1)\)!\)\/\(n \(\((n - 1)\)!\)\)\)

((n!)/((n - 1)!)) + (((n + 1)!)/(n (n - 1)!)) // 
      FullSimplify

Př. 24   Zjednodušte:  (n/((n^2) - 1))*(((n + 1)!)/((n - 2)!))

(n/((n^2) - 1))*(((n + 1)!)/((n - 2)!)) // 
      FullSimplify

Př. 25   Zjednodušte:  (6/n)(({{n}, {3}}))+(6/n)(({{n}, {2}}))+(6/n)(({{n}, {1}}))

(6/n) Binomial[n, 3] + (6/n) Binomial[n, 2] + (6/n) 
          Binomial[n, 1] // FullSimplify

Př. 26   Zjednodušte:  ((n!)/((n - 3)!))÷(({{n}, {2}}))

((n!)/((n - 3)!)) (1/Binomial)[n, 2] // 
      FullSimplify

Př. 27   Zjednodušte:  (({{n + 2}, {n}}))+(({{n + 1}, {n - 1}}))

Binomial[n + 2, n] + Binomial[n + 1, n - 1] // Simplify

Př. 28   Zjednodušte:  (({{n - 1}, {n - 3}}))÷(({{n - 2}, {n - 4}}))

Binomial[n - 1, n - 3]/Binomial[n - 2, n - 4] // 
      FullSimplify

Př. 29   Zjednodušte:  (({{n + 1}, {n}}))*(({{n}, {n - 1}}))

Binomial[n + 1, n]*Binomial[n, n - 1] // Simplify

Př. 30   Zjednodušte:  (({{n}, {n - 2}}))÷(({{n}, {n - 1}}))

Binomial[n, n - 2]/Binomial[n, n - 1] // Simplify

Př. 31   Zjednodušte:  ((sin x - (sin^3) x)/(cos x - (cos^3) x))

((Sin[x] - Sin[x]^3)/(Cos[x] - Cos[x]^3)) // Simplify

Př. 32   Zjednodušte:  ((1 + cos 2  x)/(1 - cos 2  x))

((1 + Cos[2  x])/(1 - Cos[2  x])) // Simplify

Př. 33   Zjednodušte:  ((sin x + sin 2  x)/(1 + cos x + cos 2  x))

((Sin[x] + Sin[2  x])/(1 + Cos[x] + Cos[2  x])) // 
      Simplify

Př. 34   Zjednodušte:  ((cos 2  x - 1)/(sin 2  x))

((Cos[2  x] - 1)/Sin)[2  x] // Simplify

Př. 35   Zjednodušte:  ((sin 2  x)/(cos 2  x - (cos^2) x))

Sin[2  x]/(Cos[2  x] - Cos[x]^2) // Simplify

Př. 36   Zjednodušte:  ((cos 2  x + (sin^2) x)/(1 + cos 2  x))

((Cos[2  x] + Sin[x]^2)/(1 + Cos[2  x])) // Simplify

Př. 37   Zjednodušte:  ((tg x)/(1 + (tg^2) x))

Tan[x]/(1 + Tan[x]^2) // Simplify

Př. 38   Zjednodušte:  (((cos^2) x - 1)/((cos^2) x + (cotg^2) x))

((Cos[x]^2 - 1)/(Cos[x]^2 - Cot[x]^2)) // Simplify

Př. 39   Zjednodušte:  ((((1 + tg x))^2)/(1 + (tg^2) x))

((((1 + Tan[x]))^2)/(1 + Tan[x]^2)) // FullSimplify

Př. 40   Zjednodušte:  (((tg^2) x + 1)/((cotg^2) x + 1))

((Tan[x]^2 + 1)/(Cot[x]^2 + 1)) // Simplify

Př. 41   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(1 + i\)\/\(1 - 2  i\) - i\/\(1 + i\)\)

Abychom získali výsledky v požadovaném sledu, provedeme napřed vyhodnocení bez zobrazení algebraického výsledku (středník zamezí výstup), pak vyčíslíme výsledek předchozí operace a nakonec zobrazíme výsledek v algebraickém tvaru získaný v předminulém kroku (znaky %%):

Together[((1 + I)/(1 - 2  I)) - (I/(1 + I))];
% // N
%%

Př. 42   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(15 - 5  i\)\/\(1 + 2  i\) - \(1 - 3  i\)\/i\)

Together[((15 - 5  I)/(1 + 2  I)) - ((1 - 3  I)/I)];
% // N
%%

Př. 43   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(2 + i\)\/\(3 - i\) + \((i - 2)\) \((4 - i)\)\)

Together[((2 + I)/(3 - I)) + (I - 2) (4 - I)];
% // N
%%

Př. 44   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(\(2 + 
                  4  i\)\/\(1 + i\)\) \((2 - i)\)\)

Simplify[((2 + 
                4  I)/(1 + I)) (2 - I)];
% // N
%%

Př. 45   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(\(2 + 
                  4  i\)\/\(1 + i\)\) \((2 - i)\)\)

Simplify[((I + 
                1)/I)÷((I - 
                1)/(2  I + 
                3))];
% // N
%%

Př. 46   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\((\(i - 1\)\/i + i\/\(i - 1\))\) \((2  i - 3)\)\)

Together[(((I - 1)/I) + (I/(I - 1))) (2  I - 
              3)];
% // N
%%

Př. 47   Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      ((2 - 4  i)/(1 + i)) + (((1 + 
                      2  i))^2) (i^7)

Together[((2 - 4  I)/(1 + I)) + (((1 + 
                    2  I))^2) (I^7)];
% // N
%%

Př. 48  Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(1 - 3  i\)\/\(2 + i\) + \(\(1 + 
                  3  i\)\/\(2 - i\)\) i\^9\)

Together[((1 - 3  I)/(2 + I)) + ((1 + 
                  3  I)/(2 - I)) (I^9)];
% // N
%%

Př. 49 Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(\(\((1 - i)\)\^2\) \((\@3 + i)\)\)\/\(1 - i \@ 3\) + i\^19\)

Simplify[(((((1 - I))^2) ((Sqrt[3]) + I))/(1 - I (Sqrt[ 3]))) + (I^19)];
% // N
%%

Př. 50 Vypočtěte a získané komplexní číslo zapište v algebraickém tvaru (i je imaginární jednotka):

      \(\(1\/6\) \((3 - i \@ 2)\)\^2 - \(\((3 + i \@ 2)\)\^2\) i\^18\)

Simplify[(1/6) (((3 - I (Sqrt[ 2])))^2) - (((3 + I (Sqrt[ 2])))^2) (I^18)];
% // N
%%

3.2  Algebraické rovnice a jejich soustavy

Př. 1 Řešte v oboru ℝ rovnici:

      (1/(2 + x)) - ((2 + x)/3) = ((3 - 2  x)/6)

Řešení provedeme pomocí Solve popřípadě Reduce a pro názornost si uvedeme i gfrafické řešení (x-souřadnice průsečíku červené a modré křivky je hledaným řešením):

Solve[(1/(2 + x)) - ((2 + x)/3) == ((3 - 2  x)/6), 
      x]

Plot[{(1/(2 + x)) - ((2 + x)/3), ((3 - 2  x)/6)}, {x, -7, 10}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 2 Řešte v oboru ℝ rovnici:

      (4/((x + 3) (x + 5))) - 
            (2/((x + 3) (x + 4))) = (3/((x + 4) (x + 5)))

Solve[
      (4/((x + 3) (x + 5))) - 
          (2/((x + 3) (x + 4))) == 
        (3/((x + 4) (x + 5))), x]

Rozbor:
Systém Mathematica hlásí, že řešením je prázdná množina (tj. rovnice nemá řešení). Převedeme ještě zlomek z pravé strany rovnice na stranu levou a zjednodušíme:

Together[
      (4/((x + 3) (x + 5))) - (2/((x + 3) (x + 4))) - 
        (3/((x + 4) (x + 5)))]

Ve jmenovateli se nyní nalézá kvadratický polynom. Zlomek je platný, když je jmenovatel různý od nuly. Položíme-li jmenovatel roven nule, získáme kvadratickou rovnici, jejíž kořeny tvoří body nespojitosti funkce f_x (funknčí hodnota roste v absolutní hdnotě nade všechny meze):

Solve[(x^2) + 9  x + 20 == 0, x]

Zjistíme dále funknčí hodnotu funkce f_x v nevlastních bodech ±∞.

Limit[%%, x -> ∞]
Limit[%%%, x -> -∞]

V nevlastních bodech ±∞ je tedy funknčí hodnota rovna nule a pro  x -> ±∞  se levá strana rovnice rovná pravé straně. Kdybychom tedy zahrnuli nevlastní body ±∞ do oboru ℝ, obdrželi bychom tzv. rozšířenou množinu reálných čísel a x->±∞ by bylo řešením rovnice.

Vykreslíme ještě graf funkce levé (červeně) a pravé (modře) strany zadané rovnice:

Plot[{(4/((x + 3) (x + 5))) - (2/((x + 3) (x + 4))), 
        (3/((x + 4) (x + 5)))}, {x, -6, -3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Obě křivky se sobě blíží (protínají se v bodě x->±∞), řešením je tedy prázdná množina nebo-li rovnice nemá řešení.

Př. 3  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((3  x + 7)/(6  (x^2) - 6)) - (9/((x^2) - 1)) = 
          (2/(1 - x))

Solve[((3  x + 7)/(6  (x^2) - 6)) - (9/((x^2) - 1)) == 
        (2/(1 - x)), x]

Plot[{((3  x + 7)/(6  (x^2) - 6)) - (9/((x^2) - 1)), 
          (2/(1 - x))}, {x, -2, 2}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
        AxesLabel -> {x, y}];
Plot[{((3  x + 7)/(6  (x^2) - 6)) - (9/((x^2) - 1)), 
          (2/(1 - x))}, {x, 2, 3}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
        AxesLabel -> {x, y}];

První graf nazvěme přehledovým grafem, má vypovídací schopnost o průběhu grafu levé a pravé strany rovnice včetně bodů nespojitosti, druhý graf je detailním zobrazením okolí bodu, jenž je řešením rovnice.

Př. 4  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      \(x\/\(2 \((x - 2)\)\) - \(10  x - 8\)\/\(3 \((2 - x)\)\) - \(2  x + 1\)\/\(x - 2\) = 1\)

Solve[
      (x/(2 (x - 2))) - ((10  x - 8)/(3 (2 - x))) - ((2  x + 1)/(x - 2)) == 1, x]

Rozbor:
Systém Mathematica hlásí, že řešením je prázdná množina (tj. rovnice nemá řešení). Převedeme tedy výraz na levé straně rovnice na společný jmenovatel a zjednodušíme:

Together[
      (x/(2 (x - 2))) - ((10  x - 8)/(3 (2 - x))) - ((2  x + 1)/(x - 2))]

Obdrželi jsme hodnotu L = (11/6). Jelikož P = 0, rovnost L = P neplatí, tj. rovnice nemá řešení. Jelikož při  zjednodušení výrazu zcela vypadla naznámá x, nelze ani vykreslit grafickou závislost y = f(x).

Př. 5  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((3 + 4  x)/((x^2) + x)) - 1 = (3/x) - (x/(x + 1))

Solve[((3 + 4  x)/((x^2) + x)) - 1 == (3/x) - (x/(x + 1)), 
      x]

Systém Mathematica hlásí, že řešením je prázdná množina (tj. rovnice nemá řešení). S tímto tvrzením se však nespokojíme a provedeme následující rozbor:

Rozbor:
Výrazy na obou stranách rovnice ponecháme, převedeme je však na společný jmenovatel a zjednodušíme pomocí Together:

Together[{((3 + 4  x)/((x^2) + x)) - 1, 
        (3/x) - (x/(x + 1))}]

Jak vidno, získali jsme dva shodné výrazy, což znamená, že pro všechna platná x se levá strana rovnice rovná straně pravé, tj. rovnice má nekonečně mnoho řešení. To je ovšem v rozporu s tím, co jsme zjistili pomocí Solve. Řešení tedy provedeme ještě pomocí Reduce:

Reduce[((3 + 4  x)/((x^2) + x)) - 1 == (3/x) - (x/(x + 1)), 
      x]

Zváštností tohoto výsledku je to, že jsme nezískali řešení v algebraickém tvaru, jak bychom očekávali ale logickou hodnotu True. To ovšem potvrzuje předešlé zjištění o rovnosti levé a pravé strany rovnice.

Pro názornost opět vykreslíme grafický průběh závislosti výrazů levé (červeně) a pravé (modře) strany rovnice na proměnné x:

Plot[{((3 + 4  x)/((x^2) + x)) - 1, (3/x) - (x/(x + 1))}, {x, -2, 
        2}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Něco není v pořádku? Zdánlivě ano, vytratila se nám z grafu červená barva. V zadaném pořadí vykreslování grafů došlo k překrytí červené barvy příslušné grafu levé strany rovnice barvou modrou, což jen dokazuje splynutí obou grafů a potvrzuje rovnost stran rovnice.

Z grafu jsou dále patrné body nespojitostí {x -> -1,   x -> 0}, které nebudeme analyticky šetřit. Tyto body nepatří do množiny tvořící řešení rovnice. Řešení tedy můžeme zapsat takto:
     (-∞, -1) ⋃ (-1, 
          0) ⋃ (0, +∞)

Př. 6  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      (1/((x - 3) (x - 5))) == 
          (1/((x + 9) (x - 5)))

Solve[
      (1/((x - 3) (x - 5))) == (1/((x + 9) (x - 5))), 
      x]

Systém Mathematica hlásí, že řešením je prázdná množina (tj. rovnice nemá řešení).

Rozbor:
Výrazy na obou stranách rovnice ponecháme, převedeme je však na společný jmenovatel a zjednodušíme pomocí Together:

Together[{(1/((x - 3) (x - 5))), 
        (1/((x + 9) (x - 5)))}]

Výrazy se navzájem liší, mnohoznačnost řešení můžeme již nyní s jistotou vyloučit.

Plot[{(1/((x - 3) (x - 5))), 
        (1/((x + 9) (x - 5)))}, {x, -12, 8}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Reduce[
      (1/((x - 3) (x - 5))) == (1/((x + 9) (x - 5))), 
      x]

Grafy se navzájem neprotínají, řešením je prázdná množina, tj. rovnice nemá řešení o čemž jsme se ještě přesvědčili i pomocí Reduce.

Př. 7  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((2  x - 5)/(3  x - 4)) = -((5 - 4  x)/(6  x - 
                  1))

Solve[((2  x - 5)/(3  x - 4)) == -((5 - 4  x)/(6  x - 
                1))]

Př. 8  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      1 + (5/((x - 2) (x + 3))) - (1/(x - 2)) = 0

Solve[
      1 + (5/((x - 2) (x + 3))) - (1/(x - 2)) == 
        0]

Př. 9  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((3  x + 2)/(7  x - 2)) = ((x - 4)/(x + 4))

Solve[((3  x + 2)/(7  x - 2)) == ((x - 4)/(x + 4))]

Př. 10  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((4  x + 9)/(2  x + 3)) = ((3  x + 8)/(4 + x))

Solve[((4  x + 9)/(2  x + 3)) == ((3  x + 8)/(4 + x))]

Př. 11  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      (x/(x + 3)) + ((x + 3)/x) = (9/(x (x + 3)))

Solve[
      (x/(x + 3)) + ((x + 3)/x) == (9/(x (x + 3)))]

Př. 12  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      1 + (8/(x - 4)) - (16/((x^2) - 16)) = 0

Solve[1 + (8/(x - 4)) - (16/((x^2) - 16)) == 0]

Př. 13  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      x - (6/(x - 2)) = 3 - (x/(x - 2))

Solve[x - (6/(x - 2)) == 3 - (x/(x - 2))]

Př. 14  Řešte v oboru ℝ rovnici:

      ((x - (Sqrt[2]))/x) - (x/(x - (Sqrt[2]))) = 2

Solve[((x - (Sqrt[2]))/x) - (x/(x - (Sqrt[2]))) == 2]

Př. 15  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      2  x + (3/2) y = -2
3  x + (5/2) y = -(7/2)

Solve [{2  x + (3/2) y == -2, 
        3  x + (5/2) y == -(7/2)}]

Př. 16  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

            x + y = 3.5

          3  x + 8  y = 22

Solve [{
      x + y == 
          3.5, 
3  x + 8  y == 
          22
}]

Př. 17  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      3.5  x - 1.8  y = -3.9
2.1  x - 0.9  y=-0.9

Solve [{
3.5  x - 
            1.8  y == -3.9, 
2.1  x - 
            0.9  y == -0.9
}]

Př. 18  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      2 (x - y) = 3 (1 - x) - y
x - 0.2  y=0.6

Reduce [{
2 (x - y) == 
          3 (1 - x) - y, 
x - 0.2  y == 
          0.6
}]

Př. 19  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      ((x + 2)/3) + ((y - 1)/5) = 2
      x + ((3  y)/5) = 4

Solve[{
((x + 2)/3) + ((y - 1)/5) == 
          2, 
           x + ((3  y)/5) == 4
}]

Soustava nemá řešení.

Př. 20  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

          ((3  x - y)/2) = -1
 -((x + y)/(x - y + 1)) = 
            2

Reduce[{
      ((3  x - y)/2) == -1, 
-((x + y)/(x - y + 1)) == 
          2
}]

Soustava nemá nekonečně mnoho řešení.

Př. 21  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      2  x + 3  y = 7
        ((x + y)/3) = ((x - y)/4)

Solve[{
2  x + 3  y == 
          7, 
    ((x + y)/3) == ((x - y)/4)}]

Př. 22  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      -(1/3) x + 2 = y
    (y/2) + (x/6) = 1

Solve[{
-(1/3) x + 2 == 
          y, 
   (y/2) + (x/6) == 
          1
}]

Systém Mathematica hlásí, že rovnice nemusí poskytovat řešení pro všechny nalezené hodnoty řešení. Zkusíme tedy ještě Reduce:|

Reduce[{
-(1/3) x + 2 == 
          y, 
   (y/2) + (x/6) == 
          1
}]

Př. 23  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

            ((x + y)/5) + (y/5) = -2
 ((2  x - y)/3) - ((3  x)/4) = 
            (3/2)

Solve[{
       ((x + y)/5) + 
            (y/5) == -2, 
((2  x - y)/3) - ((3  x)/4) == (3/2)
}]

Př. 24  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

       (x + 4) (y - 2) == x y
 (x - 6) (y + 1) == 
            x y

Solve[{
(x + 4) (y - 2) == 
          x y, 
(x - 6) (y + 1) == 
          x y
}]

Př. 25  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

         4 (x + y) - 5 (9  y - 4  x) = 1
3 (x - 2  y) + 7 (3  x - 5  y) = 
            7

Solve[{
   4 (x + y) - 
            5 (9  y - 4  x) == 
          1, 
3 (x - 2  y) + 
            7 (3  x - 5  y) == 7
}]

Systém Mathematica hlásí, že řešením rovniceje prázdná množina (tj. že rovnice nemá řešení).

Obě rovnice převedeme do explicitního tvaru osamostatněním proměnné y.

Solve[ 4 (x + y) - 5 (9  y - 4  x) == 1, 
      y]
Solve[3 (x - 2  y) + 7 (3  x - 5  y) == 7, y]

Obě rovnice mají shodnou směrnici (24/41), liší se jen posunutím na ose y. Jde tedy o rovnoběžky, což si ukážeme i graficky:

Plot[{ (1/41) (24  x - 1), (1/41) (24  x - 
              7)}, {x, -5, 5}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Soustava rovnic tedy nemá řešení.

Př. 26  Řešte v oboru ℝ soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých:

      2  x + 7  y - 18 == 4 (x + y)
5  x - 6  y - 13 == 3 (x - y)

Solve[{
2  x + 7  y - 18 == 
          4 (x + y), 
5  x - 6  y - 13 == 
          3 (x - y)
}]

Systém Mathematica hlásí, že řešením rovniceje prázdná množina (tj. že rovnice nemá řešení).

Obě rovnice převedeme do explicitního tvaru osamostatněním proměnné y.

Solve[2  x + 7  y - 18 == 4 (x + y), 
      y]
Solve[5  x - 6  y - 13 == 3 (x - y), y]

Obě rovnice mají shodnou směrnici (2/3), liší se jen posunutím na ose y. Jde tedy o rovnoběžky, což si ukážeme i graficky:

Plot[{ ((2 (x + 9))/3), (1/3) (2  x - 13)}, {x, -20, 
        20}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Soustava rovnic tedy nemá řešení.

Př. 27  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

      3  (x^2) + 2  x + 3 == 0

Solve[3  (x^2) + 2  x + 3 == 0]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{3  (x^2) + 2  x + 3 /. 
          x -> (1/3) (-1 - 2 I (Sqrt[2])), 
        3  (x^2) + 2  x + 3 /. 
          x -> (1/3) (-1 + 2 I (Sqrt[2]))} // 
      Simplify

Př. 28  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

      2  (x^2) - 9  x + 17 == 0

Solve[2  (x^2) - 9  x + 17 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{2  (x^2) - 9  x + 17 /. x -> (1/4) (9 - I (Sqrt[55])), 
        2  (x^2) - 9  x + 17 /. 
          x -> (1/4) (9 + I (Sqrt[55]))} // 
      Simplify

Př. 29  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

      2  (x^2) - 9  x + 17 = 0

Solve[3  (x^2) + 8  x + 11 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{3  (x^2) + 8  x + 11 /. 
          x -> 
            (1/3) (-4 - I (Sqrt[17])), 
3 
               (x^2) + 8  x + 11 /. 
          x -> (1/3) (-4 + I (Sqrt[17]))} // 
      Simplify

Př. 30  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     3  (x^2) - 12  x + 13 = 0

Solve[3  (x^2) - 12  x + 13 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{3  (x^2) - 12  x + 13 /. x -> (1/3) (6 - I (Sqrt[3])), 
        3  (x^2) - 12  x + 13 /. 
          x -> (1/3) (6 + I (Sqrt[3]))} // 
      Simplify

Př. 31  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     4  (x^2) - 16  x + 17 = 0

Solve[4  (x^2) - 16  x + 17 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{4  (x^2) - 16  x + 17 /. x -> 2 - (I/2), 
        4  (x^2) - 16  x + 17 /. x -> 2 + (I/2)} // 
      Simplify

Př. 32  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     4  (x^2) - 8 (Sqrt[ 2  x]) + 9 = 0

Solve[4  (x^2) - 8 (Sqrt[ 2  x]) + 9 == 0, x] // Simplify

Řešení v algebraickém tvaru je poněkud komplikované a nepomůže ani zjednodušení. Provedeme tedy ještě vyčíslení kořenů a pro kontrolu spočítáme i numericky pomocí NSolve:

% // N
NSolve[4  (x^2) - 8 (Sqrt[ 2  x]) + 9 == 0, x] // 
      Simplify

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice by měl být roven nule):

4  (x^2) - 8 (Sqrt[ 2  x]) + 9 /. 
        x -> 
          (1/2) (2 I (Sqrt[2]) + (Sqrt[-1 - 4 I (Sqrt[2])])) // N
4  (x^2) - 8 (Sqrt[ 2  x]) + 9 /. 
        x -> 
          (1/2) (-2 I (Sqrt[2]) + (Sqrt[-1 + 4 I (Sqrt[2])])) // N

Odchylka od nulové hondoty je řádu (10^(-16)), je tedy zanedbatelná.

Př. 33  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     9  (x^2) - 6  x + 19 == 0

Solve[9  (x^2) - 6  x + 19 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{9  (x^2) - 6  x + 19 /. 
          x -> 
            (1/3) (1 - 3 I (Sqrt[2])), 
9 
               (x^2) - 6  x + 19 /. 
          x -> (1/3) (1 + 3 I (Sqrt[2]))} // 
      Simplify

Př. 34  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     4  (x^2) - 12  x + 17 == 0

Solve[4  (x^2) - 12  x + 17 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{4  (x^2) - 12  x + 17 /. 
          x -> (1/2) (3 - 2 I (Sqrt[2])), 
        4  (x^2) - 12  x + 17 /. 
          x -> (1/2) (3 + 2 I (Sqrt[2]))} // 
      Simplify

Př. 35  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     5  (x^2) + 4  x + 8 == 0

Solve[5  (x^2) + 4  x + 8 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{5  (x^2) + 4  x + 8 /. 
          x -> -(2/5) - ((6 I)/5), 
        5  (x^2) + 4  x + 8 /. 
          x -> -(2/5) + ((6 I)/5)} // 
      Simplify

Př. 36  Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

     9  (x^2) - 6  x + 10 == 0

Solve[9  (x^2) - 6  x + 10 == 0, x]

Provedeme zkoušku dosazením kořenů do levé strany rovnice (výraz na levé straně rovnice musí být roven nule):

{9  (x^2) - 6  x + 10 /. x -> (1/3) - I, 
        9  (x^2) - 6  x + 10 /. x -> (1/3) + I} // 
      Simplify

Př. 37   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = (1/2) + ((Sqrt[3])/2) i

Postup řešení:
Vyjdeme z kvadratické rovnice ve tvaru součinu kořenových činitelů:
       (x - (Subscript[x, 1])) (x + 
              (Subscript[x, 2])) = 0
Roznásobíme:
    (x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) = 0
O kořenu (Subscript[x, 2]) prohlásíme:
    (x^2) = Conjugate[(Subscript[x, 1])]

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> (1/2) + ((Sqrt[3])/2) I, 
          (Subscript[x, 2]) -> (1/2) - ((Sqrt[3])/2) I} // 
      Simplify

Řešení upravíme:    (x^2) - x + 1 = 0

Př. 38   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = (5/2) + ((Sqrt[3])/2) i

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> (5/2) + ((Sqrt[3])/2) I, 
          (Subscript[x, 2]) -> (5/2) - ((Sqrt[3])/2) I} // 
      Simplify

Řešení upravíme:    (x^2) - 5  x + 7 = 0

Př. 39   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = (3/2) + ((Sqrt[3])/2) i

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> (3/2) + ((Sqrt[3])/2) I, 
          (Subscript[x, 2]) -> (3/2) - ((Sqrt[3])/2) I} // 
      Simplify

Řešení upravíme:    (x^2) - 3  x + 3 = 0

Př. 40   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = -(1/2) - i

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> -(1/2) - I, 
          (Subscript[x, 2]) -> -(1/2) + I} // 
      Simplify

Př. 41   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = -2 + ((Sqrt[2])/2) i

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> -2 + ((Sqrt[2])/2) I, 
          (Subscript[x, 2]) -> -2 - ((Sqrt[2])/2) I} // 
      Simplify

Př. 42   Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo (Subscript[x, 1])

    (Subscript[x, 1]) = -1 - ((Sqrt[2])/2) i

(x^2) - ((Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2])) x + (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) == 
          0 /. {(Subscript[x, 1]) -> -1 - ((Sqrt[2])/2) I, 
          (Subscript[x, 2]) -> -1 + ((Sqrt[2])/2) I} // 
      Simplify

Př. 43   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 5  (x^2) + 6  x = 0

Solve[(x^3) - 5  (x^2) + 6  x == 0, x]

Př. 44   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 5  (x^2) + 6  x = 0

Solve[(x^3) + 8  (x^2) + 15  x == 0, x]

Př. 45   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - (x^2) - 6  x = 0

Solve[(x^3) - (x^2) - 6  x == 0, x]

Př. 46   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 2  (x^2) - 3  x = 0

Solve[(x^3) - 2  (x^2) - 3  x == 0, x]

Př. 47   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 6  (x^2) + x - 6 = 0

Solve[(x^3) - 6  (x^2) + x - 6 == 0, x]

Př. 48   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 4  (x^2) - 2  x + 8 = 0

Solve[(x^3) - 4  (x^2) - 2  x + 8 == 0, x]

Př. 49   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) - 5  (x^2) + 3  x - 15 = 0

Solve[(x^3) - 5  (x^2) + 3  x - 15 == 0, x]

Př. 50   Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel:

   (x^3) + 3  (x^2) - 4  x - 12 = 0

Solve[(x^3) + 3  (x^2) - 4  x - 12 == 0, x]

3.3  Nerovnice

Př. 1   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

  2 (2  x - 3) < 5  x - (3/4)
        7  x - 5 > ((15  x - 8)/2)

Reduce[{
2 (2  x - 3) < 
          5  x - (3/4), 
        7  x - 
            5 > ((15  x - 8)/2)
}]

Př. 2   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

     3 - x ≤ (1/2) + 2  x
   2 + x > 7  x + (3/2)

Reduce[{
 
        3 - x ≤ (1/2) + 2  x, 
 
        2 + x > 7  x + (3/2)
}]

Př. 3   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

      2 - (x + 2) (x - 3) ≥ 
              4  x - x (x - 5)
                    (x/2) - ((2  x - 1)/3) < 2 + (x/6)

Reduce[{
 
        2 - (x + 2) (x - 3) ≥ 
          4  x - x (x - 
                  5), 
           (x/2) - ((2  x - 1)/3) < 2 + (x/6)
}]

Př. 4   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

      2 (3  x - 1) ≤ 3 (4  x + 1) + 16)
                ((2 + x)/2) < (3/8) x + 1

Reduce[{
   2 (3  x - 1) ≤ 
          3 (4  x + 1) + 
            16, 
           ((2 + x)/2) < (3/8) x + 1
}]

Př. 5   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

                        ((7 - x)/2) < ((3 + 4  x)/5) - 1
  (5/3) x + 5 (4 - x) < 
            2 (4 - x)

Reduce[{
                 ((7 - x)/2) < ((3 + 4  x)/5) - 1, 
(5/3) x + 5 (4 - x) < 
          2 (4 - x)
}]

Př. 6   Řešte v oboru ℝ soustavu nerovnic:

       2  x - (1/3) x < x - ((x - 1)/6)
  \(\(3  x\)\/4 - \(2  x - 2\)\/3 ≥ \(x + 1\)\/2 + 1\)

Reduce[{
        2  x - (1/3) x < 
          x - ((x - 1)/6), 
((3  x)/4) - ((2  x - 2)/3) ≥ ((x + 1)/2) + 1
}]

Př. 7   V oboru ℝ řešte nerovnici:

    ((2  x + 5)/(x - 1)) ≤ 
          1

Reduce[((2  x + 5)/(x - 1)) ≤ 1]

Př. 8   V oboru ℝ řešte nerovnici:

    (10/(x + 3)) > 1

Reduce[(10/(x + 3)) > 1]

Př. 9   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((x - 2)/(x + 3)) ≥ 2

Reduce[((x - 2)/(x + 3)) ≥ 2]

Př. 10   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    (6/(x + 3)) ≤ 1

Reduce[(6/(x + 3)) ≤ 1]

Př. 11   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((2  x)/(x - 2)) ≥ 3

Reduce[((2  x)/(x - 2)) ≥ 3]

Př. 12   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((9 + x)/(2 + x)) ≤ 2

Reduce[((9 + x)/(2 + x)) ≤ 2]

Př. 13   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((9 - x)/(2 - x)) ≤ 2

Reduce[((9 - x)/(2 - x)) ≤ 2]

Př. 14   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((2  x - 3)/(x + 2)) ≥ 1

Reduce[((2  x - 3)/(x + 2)) ≥ 1]

Př. 15   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    ((x - 5)/(x - 2)) < 2

Reduce[((x - 5)/(x - 2)) < 2]

Př. 16   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    (4/(x + 1)) ≥ 1

Reduce[(4/(x + 1)) ≥ 1]

Př. 17   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    -5 (x^2) + 3  x + 2 < 0

Reduce[-5 (x^2) + 3  x + 2 < 0]

Př. 18   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    -(x^2) + 3  x - 2 ≥ 0

Reduce[-(x^2) + 3  x - 2 ≥ 0]

Př. 19   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    (x^2) - 3  x - 4 ≥ 0

Reduce[(x^2) - 3  x - 4 ≥ 0]

Př. 20   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    -9 (x^2) + 12  x - 4 < 0

Reduce[-9 (x^2) + 12  x - 4 < 0]

Př. 21   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    -4 (x^2) + 2  x - 3 > 0

Reduce[-4 (x^2) + 2  x - 3 > 0]

Př. 22   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    2  (x^2) + x - 6 ≥ 0

Reduce[2  (x^2) + x - 6 ≥ 0]

Př. 23   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    4  (x^2) - 12  x + 9 ≤ 0

Reduce[4  (x^2) - 12  x + 9 ≤ 0]

Př. 24   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    2  (x^2) - 3  x + 3 ≥ 0

Reduce[2  (x^2) - 3  x + 3 ≥ 0]

Př. 25   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    -3 (x^2) + 2  x + 5 > 0

Reduce[-3 (x^2) + 2  x + 5 > 0]

Př. 26   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    (x^2) + 3  x + 2 > 0

Reduce[(x^2) + 3  x + 2 > 0]

Př. 27   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |x - 
          2|≥x + 1

Reduce[Abs[x - 2] ≥ x + 1]

Př. 28   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |2  x + 1|>x + 3

Reduce[Abs[2  x + 1] > x + 3]

Př. 29   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |x - 1|>3  x + 1

Reduce[Abs[x - 1] > 3  x + 1]

Př. 30   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    2+ | 
        x | ≤3  x + 5

Reduce[2 + Abs[x] ≤ 3  x + 5]

Př. 31   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |3  x + 
          3|≥x + 2

Reduce[Abs[3  x + 3] ≥ x + 2]

Př. 32   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |x - 
          3|≥1 - 2  x

Reduce[Abs[x - 3] ≥ 1 - 2  x]

Př. 33   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |2  x + 4|+x < 5

Reduce[Abs[2  x + 4] + x < 5]

Př. 34   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |6 - 
          3  x|≤2 + x

Reduce[Abs[6 - 3  x] ≤ 2 + x]

Př. 35   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    2 | x + 1 | ≤x

Reduce[2  Abs[x + 1] ≤ x]

Př. 36   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |x - 3|>2 - x

Reduce[Abs[x - 3] > 2 - x]

Př. 37   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    x+ | 
        x - 1 | ≥1

Reduce[x + Abs[x - 1] ≥ 1]

Př. 38   V oboru ℝ řešte nerovnici:
 
    |2 - x|<x - 3

Reduce[Abs[2 - x] < x - 3]

Př. 39   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = (Sqrt[x (x - 4)])

Řešení jsou všechna x, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný:

Reduce[x (x - 4) ≥ 0]

Př. 40   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = (Sqrt[1 - (x^2)])

Řešení jsou všechna x, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný:

Reduce[1 - (x^2) ≥ 0]

Př. 41   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = (Sqrt[((x - 2)/(x + 3))])

Řešení jsou všechna x, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný:

Reduce[((x - 2)/(x + 3)) ≥ 0]

Př. 42   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log((x^2) - 1)

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[(x^2) - 1 > 0]

Př. 43   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log (( x - 1)/(x + 2))

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[((x - 1)/(x + 2)) > 0]

Př. 44   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = (Sqrt[(x/(x + 2))])

Řešení jsou všechna x, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný:

Reduce[(x/(x + 2)) ≥ 0]

Př. 45   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = (Sqrt[(x - 1) (x + 4)])

Řešení jsou všechna x, pro která je výraz pod odmocninou nezáporný:

Reduce[(x - 1) (x + 4) ≥ 0]

Př. 46   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log[(x - 2) (x - 4)]

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[(x - 2) (x - 4) > 0]

Př. 47   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log (( x + 1)/(6 - x))

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[((x + 1)/(6 - x)) > 0]

Př. 48   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log (( x - 2)/(x + 4))

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[((x - 2)/(x + 4)) > 0]

Př. 49   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log[(1 + x) (1 - x)]

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[(1 + x) (1 - x) > 0]

Př. 50   Určete v ℝ definiční obor funkce:
 
    y = log(4 - (x^2))

Řešení jsou všechna x, pro která je argument funkce logaritmus kladný:

Reduce[4 - (x^2) > 0]

3.4  Grafy funkcí

Př. 1   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (((x + 2))^2)

Postup řešení:
Definujeme závislost y = f(x) mezi závisle proměnné y na nezávisle proměnné x, vykreslíme graf, popíšeme osy, průsečík grafu s osou x určíme řešením rovnice y = 0 a nakonec dosazením za  x->0 do rovnice pro y určíme průsečík s osou y:

y = (((x + 2))^2);
\(\(Plot[y, {x, \(-4\), 2}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(\((x + 2)\)\^2\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [-2, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 4].

Př. 2   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (((x - 3))^2)

y = (((x - 3))^2);
\(\(Plot[y, {x, \(-1\), 7}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=(x-3\!\(\()\^2\)\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [3, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 9].

Př. 3   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |(x^2) - 4|

y = Abs[(x^2) - 4];
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=|\!\(x\^2\)-4|""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x mají souřadnice [-2, 0], [2, 0] průsečík s osou y má souřadnice [0, 4].

Př. 4   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |1 - (x^2)|

y = Abs[1 - (x^2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=|1-\!\(x\^2\)|""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x mají souřadnice [-1, 0], [1, 0] průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 5   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (1/x) - 1

y = (1/x) - 1;
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(1\/x\)-1""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [1, 0], průsečíky s osou y jsou v nevlastních bodech [0, +∞], [0, -∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 6   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = -(1/x) + 1

y = -(1/x) + 1;
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=-\!\(1\/x\)+1""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [1, 0], průsečíky s osou y jsou v nevlastních bodech [0, +∞], [0, -∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Poznámka:
grafy funkce  y = (1/x)-1  a funkce  y = -(1/x) + 1 jsou navzájem symetrické podle osy x.

Př. 7   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (1/(x + 1))

y = (1/(x + 1));
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 0.5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(1\/\(x + 1\)\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x jsou v nevlastních bodech [-∞, 0], [+∞, 0], tj. pro y -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose x. Průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 8   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (1/(x - 2))

y = (1/(x - 2));
\(\(Plot[y, {x, \(-1\), 5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(1\/\(x - 2\)\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x jsou v nevlastních bodech [-∞, 0], [+∞, 0], tj. pro y -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose x. Průsečík s osou y má souřadnice [0, -(1/2)].

Př. 9   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |x|-2

y = Abs[x] - 2;
Plot[y, {x, -3, 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, "y=|x|-2"}];
Solve[y == 0, x, Reals]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x mají souřadnice [-2, 0], [2, 0] průsečík s osou y má souřadnice [0, -2].

Př. 10   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |x|+x

y = Abs[x] + x;
Plot[y, {x, -3, 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, "y=|x|-2"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Pro x ≤ 0 splývá graf se zápornou poloosou x, průsečík grafu s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 11   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = ((2 | x | )/x)

y = ((2  Abs[x])/x);
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(\(2 | x | \)\/x\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Systém Mathematica hlásí neurčitý výraz, vskutku dosazením za x -> 0 do vzorce pro y obdržíme neurčitý výraz typu (0/0).

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [0, 0], v bodě nespojitosti funkce pro x -> 0 v intervalu ⟨-2,  
        2⟩ graf splývá s osou y.

Př. 12   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |x - 1|

y = Abs[x - 1];
Plot[y, {x, -2, 4}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, "y=|x-1|"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [1, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 13   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = 3- | x |

y = 3 - Abs[x]
Plot[y, {x, -4, 4}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, "y=3-|x|"}];
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu s osou x mají souřadnice [-3, 0], [3, 0]  průsečík s osou y má souřadnice [0, 3].

Př. 14   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (x^3) + 2

y = (x^3) + 2;
\(\(Plot[y, {x, \(-5\), 5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(x\^3\)+2""}];\)\)
Solve[y == 0, x] 
y /. x -> 0

Nalezeny byly tři kořeny, což koresponduje stupni polynomu. Z toho jeden kořen je reálný:  x -> -(2^(1/3)), zbávající dva jsou komplexní.

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [-(2^(1/3)), 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 2].

Př. 15   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (((x + 1))^3)

y = (((x + 1))^3);
\(\(Plot[y, {x, \(-5\), 5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=(x+1\!\(\()\^3\)\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x] 
y /. x -> 0

Nalezen byl jeden trojnásobný reálný kořen  x -> -1.

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [-1, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 16   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (((3 - x))^3)

y = 3 - (x^3);
\(\(Plot[y, {x, \(-5\), 5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=(3-x\!\(\()\^3\)\)""}];\)\)
Solve[y == 0, x] 
y /. x -> 0

Nalezeny byly tři kořeny, což koresponduje stupni polynomu. Z toho jeden kořen je reálný:  x -> (3^(1/3)), zbávající dva jsou komplexní.

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [(3^(1/3)), 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 3].

Př. 17   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (x^3) - 1

y = (x^3) - 1;
\(\(Plot[y, {x, \(-5\), 5}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(x\^3\)-1""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Nalezeny byly tři kořeny, což koresponduje stupni polynomu. Z toho jeden kořen je reálný:  x -> 1, zbávající dva jsou komplexní.

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [1, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, -1].

Př. 18   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = log(x - 1)

y = Log[10, x - 1];
Plot[y, {x, 1, 10}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, "y=log(x-1)"}];
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [2, 0], osu y graf neprotíná, pro \(TraditionalForm\`x -> \(1\_+\)\) se graf asymptoticky blíží rovnoběžce s osou y dané rovnicí x = 1.

Poznámka:
Systém Mathematica nalezl dosazením za x -> 0 hodnotu y = ((i π)/(log(10))), což je ryze imaginární číslo.

Př. 19   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (Subscript[log, 0.5])(x + 1)

y = Log[0.5, x + 1];
\(\(Plot[y, {x, \(-1\), 3}, PlotStyle -> Red, 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(log\_0.5\)(x+1)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [0, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 20   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = log(x + 2)

y = Log[10, x + 2];
Plot[y, {x, -2, 10}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=log(x+2)"}];
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0
% // N

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [0, -1], průsečík s osou y má souřadnice [0,  ((ln 2)/(ln 10))].

Př. 21   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (Subscript[log, 3]) x

y = Abs[Log[3, x]];
\(\(Plot[y, {x, \(-5\), 5}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(log\_3\)x""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [0, 1], průsečík s osou y je v nevlastním bodě se souřadnicemi [0,  +∞].

Př. 22   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (Subscript[log, 3])(x - 2)

y = Log[3, x - 2];
\(\(Plot[y, {x, 2, 6}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(log\_3\)(x-2)""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [3, 0], osu y graf neprotíná, pro \(TraditionalForm\`x -> \(2\_+\)\) se graf asymptoticky blíží rovnoběžce s osou y dané rovnicí x = 2.

Poznámka:
Systém Mathematica nalezl dosazením za x -> 0 hodnotu y = ((i π + ln 2)/(ln 3)), což je komplexní číslo.

Př. 23   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (2^(x - 2))

y = (2^(x - 2));
\(\(Plot[y, {x, \(-10\), 3}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(2\^\(x - 2\)\)""}];\)\)
y /. x -> -∞
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x je v nevlastním bodě se souřadnicemi [-∞, 0], průsečík s osou y má souřadnice [(1/4),  0].

Př. 24   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = ((((1/2)))^x) + 1

y = ((((1/2)))^x) + 1;
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 3}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=((1/2))^x+1""}];\)\)
y /. x -> ∞
y /. x -> 0

Graf osu x neprotíná, pro x->+∞ se asymptoticky blíží rovnoběžce s osou x danou rovnicí y = 1,  průsečík s osou y má souřadnice [2,  0].

Př. 25   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (3^(-x)) - 1

y = (3^(-x)) - 1;
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 10}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(3\^\(-x\)\)-1""}];\)\)
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečík grafu s osou x má souřadnice [0,  0], průsečík s osou y má souřadnice [0,  0].

Poznmámka:
Systém Mathematica hlásí, že nemusela být nalezena všechna řešení a že místo Solve doporučuje použít Reduce:

Reduce[y == 0, x]

Pomocí Reduce byla nalezena úplná množina řešení rovncie y = 0 v oboru komplexních čísel. Řešení nalezené pomocí solve získáme z tohoto řešení dosazením za (Subscript[c, 1])= 0.

Př. 26   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = (3^(x + 1))

y = (3^(x + 1));
\(\(Plot[y, {x, \(-3\), 2}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=\!\(3\^\(-x\)\)-1""}];\)\)
y /. x -> -∞
y /. x -> 0

Graf protíná osu x v nevlastním bodě [-∞, 0], tj. pro  x -> -∞  se asymptoticky blíží k ose x. Graf protíná osu y v bodě [0, 3].

Př. 27   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = sin 2  x

y = Sin[2  x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=sin 2x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou: 
 (x == k π ∨ 
            x == (π/2) +  k π) ∧ 
        k ∈ {0,  ±1,  ±2}.
 Průsečík grafu s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 28   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cos 2  x

y = Cos[2  x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=cos 2x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou: 
 (x == -(π/4) + k π ∨ 
            x == (π/4) +  k π) ∧ 
        k ∈ {0,  ±1,  ±2}.
 Průsečík grafu s osou y má souřadnici [0, 1].

Př. 29   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cos (x/2)

y = Cos[(x/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=cos \!\(x\/2\)""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [-π, 0], [π, 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 30   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = sin (x/2)

y = Sin[(x/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=sin \!\(x\/2\)""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [-2π, 0],  [0, 0],  [2π, 0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 31   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = 2  sin x

y = 2  Sin[x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=2sin x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou:  x == k π ∧ 
        k ∈ {0,  ±1,  ±2}. průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 32   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = 3  cos x

y = 3  Cos[x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=3cos x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [±((3  π)/2),  
        0],  [±(π/2),  0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 3].

Př. 33   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |2  cos x|

y = Abs[2  Cos[x]];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=|2cos x|"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [±(π/2),  
        0],  [±((3  π)/2),  0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 2].

Př. 34   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |3  sin x|

y = Abs[3  Sin[x]];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=|3sin x|"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [0,  0], [±π,  
        0],  [±2 π,  0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 35   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cos x - 2

y = Cos[x] - 2;
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=cos x-2"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ nejsou žádné, průsečík s osou y má souřadnice [0, -1].

Př. 36   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = sin x + 1

y = Sin[x] + 1;
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=sin x+1"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [-(π/2), 0], [((3  π)/2), 0], průsečík s osou y má souřadnice [0, 1].

Př. 37   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cos(x + (π/2))

y = Cos[x + (π/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=cos(x+\!\(π\/2\))""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [±π, 0], [±2 π, 0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 38   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = sin(x - (π/2))

y = Sin[x - (π/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=sin(x-\!\(π\/2\))""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [±(π/2), 0], [±((3  π)/2), 0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, -1].

Př. 39   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |cos x|-1

y = Abs[Cos[x]] - 1;
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=|cos x|-1"}];
Reduce[y == 0, x]
Solve[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [0, 0], [±π, 0], [±2 π, 0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 40   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = 2 | sin x |

y = 2  Abs[Sin[x]];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=2|sin x|"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [0, 0], [±π, 0], [±2 π, 0],  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 41   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = tg 2 x

y = Tan[2  x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=tg 2 x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩ jsou [±k (π/2), 0] ∧ k∈{0, ±1, ±2, ±3, ±4},  průsečík s osou y má souřadnice [0, 0].

Př. 42   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cotg  (x/2)

y = Cot[(x/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=cotg  \!\(x\/2\)""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [± π, 0],  průsečíky s osou y jsou v nevlastních bodech [0, +∞], [0, -∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 43   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cotg  x + 1

y = Cot[x] + 1
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=cotg  x+1"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [-(π/4) + k π,  0]  ∧ 
        k ∈ {0,  ±1,  2},  průsečíky s osou y jsou v nevlastních bodech [0, +∞], [0, -∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 44   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = tg  x - 0.5

y = Tan[x] - 0.5;
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=tg x-0.5"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [0.463648 + k π,  0]  ∧ 
        k ∈ {0,  ±1,  -2},  průsečík s osou y má souřadnice [0,  -0.5].

Př. 45   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cotg  x

y = Abs[Cot[x]];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=cotg x"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [(π/2) + k π,  0]  ∧ 
        k ∈ { ±1,  ±2}, průsečík s osou y je v nevlastním bodě [0, +∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 46   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = -|tg  x|

y = -Tan[x];
Plot[y, {x, -2 π, 2  π}, PlotStyle -> Red,  
        AxesLabel -> {x, "y=-|tg x|"}];
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [k π,  0]  ∧ 
        k ∈ { 0,  ±1,  ±2}, průsečík s osou y má souřadnice [0,  0] .

Př. 47   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = cotg(x + (π/2))

y = Cot[x + (π/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=cotg(x+\!\(π\/2\))""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [k π,  0]  ∧ 
        k ∈ { 0,  ±1,  ±2}, průsečík s osou y má souřadnice [0,  0] .

Př. 48   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = tg(x - (π/2))

y = Tan[x - (π/2)];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=tg(x-\!\(π\/2\))""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [(π/2) +  k π,  0]  ∧ 
        k ∈ {  ±1,  ±2}, průsečíky s osou y jsou v nevlastních bodech [0, +∞], [0, -∞] tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 49   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = -|cotg  (x/2)|

y = -Abs[Cot[(x/2)]];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=-|cotg\!\(x\/2\)|""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]
y /. x -> 0

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [±π,  0] , průsečík s osou y je v nevlastním bodě [0, -∞], tj. pro x -> 0 se graf asymptoticky blíží k ose y.

Př. 50   Nakreslete graf funkce  y = f(x)  pro  x ∈ ⟨-2 π,  
          2  π⟩  a určete průsečíky s osami souřadnic:
 
    y = |tg  (x/2)|

y = Abs[Tan[(x/2)]];
\(\(Plot[y, {x, \(-2\) π, 2  π}, PlotStyle -> Red, \ 
        AxesLabel -> {x, \*""y=|tg\!\(x\/2\)|""}];\)\)
Reduce[y == 0, x]

Průsečíky grafu y = f(x) s osou x pro \(TraditionalForm\`x ∈ ⟨\(±2\) π, \ 2  π⟩\) jsou [0,  0] , [±π,  0] , průsečík s osou y má souřadnice [0,  0] .

3.5 Posloupnosti. Nekonečná geometrická řada

Př. 1   V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno:
 
    (Subscript[a, 9]) = 6,  
            (Subscript[a, 16]) = -8

(Subscript[a, 1]) = 
      (Subscript[a, n]) + (1 - n) d /. 
        d -> (((Subscript[a, k]) - (Subscript[a, n]))/(k - n))
N[% /. {(Subscript[a, n]) -> 3, (Subscript[a, k]) -> 23, n -> 13, 
          k -> 23}]

Př. 2   V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno:
 
    (Subscript[a, 14]) = 
              3,  (Subscript[a, 23])=21

(Subscript[a, 1]) = 
      (Subscript[a, n]) + (1 - n) d /. 
        d -> (((Subscript[a, k]) - (Subscript[a, n]))/(k - n))
N[% /. {(Subscript[a, n]) -> 6, (Subscript[a, k]) -> -8, n -> 9, 
          k -> 16}]

Př. 3   V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno:
 
    (Subscript[a, 11]) = 
              9,  (Subscript[a, 19])=33

(Subscript[a, 1]) = 
      (Subscript[a, n]) + (1 - n) d /. 
        d -> (((Subscript[a, k]) - (Subscript[a, n]))/(k - n))
N[% /. {(Subscript[a, n]) -> 9, (Subscript[a, k]) -> 33, n -> 11, 
          k -> 19}]

Př. 4   V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno:
 
    (Subscript[a, 7]) = 
              22,  (Subscript[a, 14])=15

(Subscript[a, 1]) = 
      (Subscript[a, n]) + (1 - n) d /. 
        d -> (((Subscript[a, k]) - (Subscript[a, n]))/(k - n))
N[% /. {(Subscript[a, n]) -> 22, (Subscript[a, k]) -> 15, n -> 7, 
          k -> 14}]

Př. 5   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 18]) = 4,  d = -(1/5),    určete  (Subscript[s, 18])

Remove[d, k, n]; 
(Subscript[s, 18]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        (Subscript[a, 1]) -> (Subscript[a, n]) + (1 - n) d
N[(Subscript[s, 18]) /. {(Subscript[a, n]) -> 4, n -> 18, 
          d -> -(1/5)}]

Př. 6   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 22]) = -(2/3),  d = -1,    určete  (Subscript[s, 22])

(Subscript[s, 22]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        (Subscript[a, 1]) -> (Subscript[a, n]) + (1 - n) d
N[(Subscript[s, 22]) /. {(Subscript[a, n]) -> -(2/3), n -> 22, 
          d -> -1}]

Př. 7   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 19]) = -(1/4),  d = (1/2),    určete  (Subscript[s, 19])

(Subscript[s, 19]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        (Subscript[a, 1]) -> (Subscript[a, n]) + (1 - n) d
N[(Subscript[s, 19]) /. {(Subscript[a, n]) -> -(1/4), n -> 19, 
          d -> (1/2)}]

Př. 8   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 21]) = 2,  d = -(1/8),    určete  (Subscript[s, 21])

(Subscript[s, 21]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        (Subscript[a, 1]) -> (Subscript[a, n]) + (1 - n) d
N[(Subscript[s, 21]) /. {(Subscript[a, n]) -> 2, n -> 21, 
          d -> -(1/8)}]

Př. 9   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 2]) = 8,  (Subscript[a, 15]) = 73,    určete  (Subscript[s, 15])

(Subscript[s, 15]) = ((((Subscript[a, 2]) + (Subscript[a, n]))*(n - 1))/2)
N[(Subscript[s, 15]) /. {(Subscript[a, 2]) -> 8, (Subscript[a, n]) -> 73, n -> 15}]

Př. 10   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 2]) = 18,  (Subscript[a, 17]) = -87,    určete  (Subscript[s, 17])

(Subscript[s, 17]) = ((((Subscript[a, 2]) + (Subscript[a, n]))*(n - 1))/2)
N[(Subscript[s, 17]) /. {(Subscript[a, 2]) -> 18, (Subscript[a, n]) -> -87, 
          n -> 17}]

Př. 11   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 1]) = 4,  (Subscript[a, 20]) = -110,    určete  (Subscript[s, 21])

d = (((Subscript[a, n]) - (Subscript[a, 1]))/(n - 1));
(Subscript[s, 20]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2);
(Subscript[s, 21]) = (Subscript[s, 20]) + d
N[(Subscript[s, 21]) /. {(Subscript[a, 1]) -> 4, (Subscript[a, n]) -> -110, 
          n -> 20}]

Př. 12   V aritmetické posloupnosti je dáno:
 
    (Subscript[a, 1]) = -3,  (Subscript[a, 40]) = 153,    určete  (Subscript[s, 41])

d = (((Subscript[a, n]) - (Subscript[a, 1]))/(n - 1));
(Subscript[s, 40]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2);
(Subscript[s, 41]) = (Subscript[s, 40]) + d
N[(Subscript[s, 41]) /. {(Subscript[a, 1]) -> -3, (Subscript[a, n]) -> 153, 
          n -> 40}]

Př. 13   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    \(TraditionalForm\`{\(1\/2\) n + 3}\_\(n = 1\)\%∞\)

(Subscript[a, 1]) = (1/2) 1 + 3;
(Subscript[a, n]) = (1/2) n + 3;
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 14   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    \(TraditionalForm\`{\(n + 3\)\/5}\_\(n = 1\)\%∞\)

(Subscript[a, 1]) = ((1 + 3)/5);
(Subscript[a, n]) = ((n + 3)/5);
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 15   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    \(TraditionalForm\`{\(n + 4\)\/\(-n\)}\_\(n = 1\)\%∞\)

(Subscript[a, 1]) = ((1 + 4)/(-1));
(Subscript[a, n]) = ((n + 4)/(-n));
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 16   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    \(TraditionalForm\`{\(-\(2\/5\)\) n}\_\(n = 1\)\%∞\)

(Subscript[a, 1]) = -(2/5) 1;
(Subscript[a, n]) = -(2/5) n;
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 17   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    \(TraditionalForm\`{\(-n\) + 1\/2}\_\(n = 1\)\%∞\)

(Subscript[a, 1]) = -1 + (1/2);
(Subscript[a, n]) = -n + (1/2);
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 18   Je dána posloupnost aritmetická, určete d a (Subscript[s, 25]):
 
    {(n^2) - 1}_(n = 1)^∞

(Subscript[a, 1]) = (1^2) - 1;
(Subscript[a, n]) = (n^2) - 1;
(Subscript[s, n]) = ((((Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, n]))*n)/2) /. 
        n -> 25
d = (((Subscript[a, n]) + (Subscript[a, 1]))/(n - 1)) /. n -> 25

Př. 19   Určete součet všech sudých přirozených čísel menších než 150:

(∑_(k = 1)^((148/2)))2  k

Př. 20   Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než 150:

75 + (∑_(k = 1)^((148/2)))2  k

Př. 21   Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel:

(∑_(k = 10)^99) k

Př. 22   Určete součet všech přirozených trojciferných čísel:

(∑_(k = 100)^999) k

Př. 23   Určete součet všech dvojciferných přirozených čísel dělitelných pěti:

a = Table[5 + 5  i, {i, 18}]
(∑_(i = 1)^18) a[[i]]

Př. 24   V aritmetické posloupnosti (Subscript[a, 1]),  (Subscript[a, 2]),  ....,  (Subscript[a, 7]) je
    (Subscript[a, 1]) = -(11/3),  d = (4/3).   
Vypočítejte:
    (Subscript[(((8))^a), 1]) * \(TraditionalForm\`\(\(\((8)\)\^a\_\(\(2\)\(\ \)\)*\ \((8)\)\^a\_2\ *\  ... \)\(.\)\)\ *\((8)\)\^a\_7\)

Poznámka:
\(\(\(\ \ \ \)\(\(\((8)\)\^a\_1*\((8)\)\^a\_2*\((8)\)\^a\_3*\((8)\)\^a\_4*\((8)\)\^a\_5*\((8)\)\^a\_6*\((8)\)\^a\_7\)\(==\)\(\((8)\)\^s\_n\)\(\ \)\)\)\)

(Subscript[a, 1]) = -(11/3);
d = (4/3);
(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) n + ((n (n - 1) d)/2) /. 
          n -> 7;
N[(Subscript[(8^s), n]) /. n -> 7]

Př. 25   Vypočítejte, když i je imaginární jednotka:
  
  \(\(i*i\^2*i\^3*i\^4 ... \)*i\^64\)

(∏_(k = 1)^64) (I^k)

Př. 26   Délka stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete délku přepony, když delší odvěsna je 12 cm:

a = 12 - d;
b = 12;
c = 12 + d;
c = 24 - a;
c = (Sqrt[(a^2) + (b^2)]);
Solve[(Sqrt[(a^2) + (b^2)]) + a - 24 == 0]

Př. 27   Délka stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete délku přepony, když delší rozdíl délek odvěsen je 5 cm:

b = a + 5;
c = b + 5;
c = a + 10;
c = (Sqrt[(a^2) + (b^2)]);
Solve[(Sqrt[(a^2) + (b^2)]) - a - 10 == 0, a]

Poznámka:
  řešením je a->15 (záporná délka strany nemá smysl).

Př. 28   Délka stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete délku přepony, kdyžkratší odvěsna je 6 cm:

a = 6;
b = 6 + d;
c = 6 + 2  d;
c = (Sqrt[(a^2) + (b^2)]);
Solve[(Sqrt[(a^2) + (b^2)]) - 6 - 2  d == 0, d]

Př. 29   V geometrické posloupnosti určete první člen (Subscript[a, 1]), je-li dáno:

(Subscript[a, 16]) = (1/8),    (Subscript[a, 21]) = 4

q = ((((Subscript[a, r])/(Subscript[a, s])))^(1/(r - s)));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, r]) 
        (q^(1 - r))

N[(Subscript[a, 1]) /. {(Subscript[a, r]) -> (1/8), (Subscript[a, s]) -> 4, r -> 16, 
          s -> 21}]
Rationalize[%]

Př. 30   V geometrické posloupnosti určete první člen (Subscript[a, 1]), je-li dáno:

(Subscript[a, 22]) = (1/4),   (Subscript[a, 27])=(1/128)

q = ((((Subscript[a, r])/(Subscript[a, s])))^(1/(r - s)));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, r]) 
        (q^(1 - r))

N[(Subscript[a, 1]) /. {(Subscript[a, r]) -> (1/4), (Subscript[a, s]) -> (1/128), r -> 22, 
          s -> 27}]

Př. 31   V geometrické posloupnosti určete první člen (Subscript[a, 1]), je-li dáno:

(Subscript[a, 5]) = -54,   (Subscript[a, 8])=-1458

q = ((((Subscript[a, r])/(Subscript[a, s])))^(1/(r - s)));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, r]) 
        (q^(1 - r))

N[ 
        (Subscript[a, 1]) /. {(Subscript[a, r]) -> -54, (Subscript[a, s]) -> -1458, r -> 5, 
            s -> 8}];
Rationalize[%]

Př. 32   V geometrické posloupnosti určete první člen (Subscript[a, 1]), je-li dáno:

(Subscript[a, 3]) = -243,   (Subscript[a, 6])=-9

q = ((((Subscript[a, r])/(Subscript[a, s])))^(1/(r - s)));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, r]) (q^(1 - r))
N[(Subscript[a, 1]) /. {(Subscript[a, r]) -> -243, (Subscript[a, s]) -> -9, r -> 3, 
          s -> 6}]

Př. 33   V geometrické posloupnosti určete (Subscript[s, n]), je-li dáno:

(Subscript[a, 1]) = 3,   q=2

Použijeme vzorce:
  (Subscript[a, n ]) =  (Subscript[a, 1]) 
              (q^(n - 1))    ⇒   (q^(n - 1))  =  
          ((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1]))
  \(s\_n\  = \ \(\(a\_1\) 
            q\^\(n - 1\)\/\(q - 1\)\  = \ \(a\_1\) \(a\_n\/a\_1\)\/\(q - 1\)\)\)

(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(q - 1)) /. {(Subscript[a, 1]) -> 3, 
          q -> 2, (Subscript[a, n]) -> 384}

Př. 34   V geometrické posloupnosti určete (Subscript[s, n]), je-li dáno:

(Subscript[a, 1]) = -2,    q = 3

(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(q - 1)) /. {(Subscript[a, 1]) -> -2, 
          q -> 3, (Subscript[a, n]) -> -486}

Př. 35   V geometrické posloupnosti určete (Subscript[s, n]), je-li dáno:

(Subscript[a, 1]) = 1,   q=(1/2), (Subscript[a, n])=(1/64)

(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(q - 1)) /. {(Subscript[a, 1]) -> 1, 
          q -> (1/2), (Subscript[a, n]) -> (1/64)}

Př. 36   V geometrické posloupnosti určete (Subscript[s, n]), je-li dáno:

(Subscript[a, 1]) = 1,   q=(1/3), (Subscript[a, n])=(1/81)

(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(q - 1)) /. {(Subscript[a, 1]) -> 1, 
          q -> (1/3), (Subscript[a, n]) -> (1/81)}

Př. 37   Je-li dána posloupnost geometrická, určete (Subscript[s, 5]):

{(1/((2^(n - 1))*3))}_(n = 1)^∞

Vzorce:
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \)\(a\_\(\(n\)\(\ \)\) = \ 
          1\/\(2\^\(n - 1\)*3\)

        \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q\  = \(\@\(a\_n\/a\_1\)\%\(\(\ \)\(n - 1\)\)\ \ \  ⇒ \ \ \ q\^\(\(n\)\(-\)\(1\)\(\ \)\) = \(\(\(\ \)\(a\_n\)\)\/a\_1
s\_n\  = \ \(\(a\_1\) 
                  q\^\(n - 1\)\/\(q - 1\)\  = \ \(a\_1\) \(a\_n\/a\_1\)\/\(\@\(a\_n\/a\_1\)\%\(n - 1\) - 1\)\)\)\)\)\)

(Subscript[a, n]) = (1/((2^(n - 1))*3));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, n]) /. n -> 1;
(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))^(1/(n - 1))) - 1)) /. 
        n -> 5

Př. 38   Je-li dána posloupnost geometrická, určete (Subscript[s, 5]):

{((2^n)/(3^(n + 1)))}_(n = 1)^∞

(Subscript[a, n]) = ((2^n)/(3^(n + 1)));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, n]) /. n -> 1;
(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))^(1/(n - 1))) - 1)) /. 
        n -> 5

Př. 39   Je-li dána posloupnost geometrická, určete (Subscript[s, 5]):

{(((2^n) + 1)/(3^n))}_(n = 1)^∞

(Subscript[a, n]) = (((2^n) + 1)/(3^n));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, n]) /. n -> 1;
(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))^(1/(n - 1))) - 1)) /. 
        n -> 5
% // N

Př. 40   Je-li dána posloupnost geometrická, určete (Subscript[s, 5]):

{(1/((3^(n - 1))*2))}_(n = 1)^∞

(Subscript[a, n]) = (1/((3^(n - 1))*2));
(Subscript[a, 1]) = (Subscript[a, n]) /. n -> 1;
(Subscript[s, n]) = (Subscript[a, 1]) ((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))/(((((Subscript[a, n])/(Subscript[a, 1])))^(1/(n - 1))) - 1)) /. 
        n -> 5

Př. 41   Vypočtěte:

(2^x)-(2^(x - 1))+(2^(x - 2))-(2^(x - 3))+ .... =

(∑_(i = 0)^∞)(((-1))^i)*(2^(x - i))

Př. 42   Vypočtěte:

(3^x)+(3^(x - 1))+(3^(x - 2))+(3^(x - 3))+ .... =

(∑_(i = 0)^∞) (3^(x - i))

Př. 43   Vypočtěte:

log x + log (Sqrt[ x]) + log ( x^(1/4)) + log ( x^(1/8)) .... =

(∑_(i = 0)^∞) Log[(x^((1/(2^i))))]

Př. 44   Vypočtěte:

(x^5)*(Sqrt[(x^5)])*(((x^5))^(1/4))*(((x^5))^(1/8))*(((x^5))^(1/16)) .... =

(∏_(i = 0)^∞) (x^((5/(2^i))))

Př. 45   Vypočtěte:

\(1\/x*1\/\@x\%4*1\/\@x\%8*1\/\@x\%16\) .... =

(∏_(i = 1)^∞) (x^(-(1/(2^i))))

Př. 46   Řešte v oboru ℝ rovnici:

(x/10) + (x/100) + (x/1000) + (x/10000) +  .... =(2/3)

Solve[(∑_(i = 1)^∞) (x/(10^i)) == (2/3)]

Př. 47   Řešte v oboru ℝ rovnici:

x-(1/2)x+(1/4)x-(1/8) x+(1/16) x- .... =6

Solve[(∑_(i = 0)^∞)(((-1))^i) (1/(2^i)) 
            x == 6]

Př. 48   Řešte v oboru ℝ rovnici:

(x/3) + (x/6) + (x/12) + (x/24) +  .... =5

Solve[(∑_(i = 0)^∞) (x/(3*(2^i))) == 
        5]

Př. 49   Řešte v oboru ℝ rovnici:

x + (1/3) x + (1/9) x + (1/27) x +  .... =6

Solve[(∑_(i = 0)^∞) (1/(3^i)) x == 
        6]

Př. 50   Řešte v oboru ℝ rovnici:

(2/3) x + (4/9) x + (8/27) 
                        x + (16/81) x +  .... =(1/4)

Solve[(∑_(i = 1)^∞)((((2/3)))^i) x == 
        (1/4)]

3.7 Goniometrické rovnice

Př. 1   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (((sin x + cos x))^2) - sin 2  x = tg x

Poznámky:
Při řešení goniometrických rovnic pomocí Solve zpravidla nebývájí nalezena všechna řešení a systém Mathematica obvykle doporučuje použít Reduce. Místo Solve použijeme tedy Reduce a řešení zjednodušíme. Z množiny řešení v oboru komplexníxh čísel ovšem musíme ručně vybrat ta řešení, která současně patří do množiny čísel reálných.

Symbol i znamená imaginární jednotku. Je třeba si také uvědomit, že mimo interval ⟨-1, 1⟩ nejsou v oboru ℝ funkce (sin^(-1)) x  (tj .  arcsin x) a (cos^(-1)) x  (tj .  arccos x) definovány. Pokud systém Mathematica taková řešení poskytne, bude se jednat o řešení v oboru komplexních čísel, což z množiny získaných řešení vyloučíme.

Reduce[(((Sin[x] + Cos[x]))^2) - Sin[2  x] == Tan[x], x] // 
      FullSimplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/4) + 2  k π  ∨ 
                x = -((3  π)/4) + 2  k π) ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 2   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          3cos x=sin x*cotg x - (Sqrt[3])

Reduce[3  Cos[x] == Sin[x] Cot[x] - (Sqrt[3]), x] // 
      FullSimplify

Řešení v oboru ℝ:
x = ±((5  π)/6) + 
            2  k π  ∧ k ∈ ℤ

Př. 3   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          tg x+cotg x=2

Reduce[Tan[x] + Cot[x] == 2, x]

Řešení v oboru ℝ:
x = (π/4) + k π  ∧ 
          k ∈ ℤ

Př. 4   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (((sin x+cos x))^2)=0

Reduce[(((Sin[x] + Cos[x]))^2) == 0, x] // Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = -(π/4) + 2  k π ∨ 
                x = ((3  π)/4) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 5   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (cos^2)x * tg x+(1/2)=0

Reduce[Cos[x]^2*Tan[x] + (1/2) == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = -(π/4) + k π ∨ 
                x = ((3  π)/4) + k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 6   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          sin x + cos x=2  sin x

Reduce[Sin[x] + Cos[x] == 2  Sin[x], x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = -((3  π)/4) + 
                  2  k π ∨ x = (π/4) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 7   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (sin^2) x=((Sqrt[3])/2)sin x

Reduce[Sin[x]^2 == ((Sqrt[3])/2) Sin[x], x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/3) + 2  k π ∨ 
                x = ((2  π)/3) + 2  k π ∨ 
                  x = 2  k π ∨ x = π + 
                    2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 8   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          cos x = 2  (cos^2) x

Reduce[Cos[x] == 2  Cos[x]^2, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = ±(π/2) + 
                  2  k π ∨ x = ±(π/3) + 
                2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 9   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          sin x + sin 2  x = 0

Reduce[Sin[x] + Sin[2  x] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x=±((2  π)/3) + 
                    2  k π ∨ x=2  k π∨x=π + 2  k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 10   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          sin 2  x + 3  sin x = 0

Reduce[Sin[2  x] + 3  Sin[x] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x=2  k π∨x=π + 2  k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 11   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (Sqrt[3])tg x=-(tg^2) x

Reduce[(Sqrt[3]) Tan[x] == -Tan[x]^2, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x=k π∨x=-(π/3) + k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 12   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          3(cotg^2) x=-3cotg x

Reduce[3  Cot[x]^2 == -3 Cot[x], x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/2) + k π ∨ 
                x = -(π/4) + k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 13   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2sin (x/2)cos (x/2)-4  sin (x/2)=0

Reduce[2  Sin[(x/2)] Cos[(x/2)] - 4  Sin[(x/2)] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x=4  k π∨x=2  π + 4  k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 14   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2sin (x/4)cos (x/4)+6sin (x/4)=0

Reduce[2  Sin[(x/4)] Cos[(x/4)] + 6  Sin[(x/4)] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x=8  k π∨x=2  π + 8  k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 15   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          3  cos (x/3)-sin (x/3) cos (x/3)=0

Reduce[3  Cos[(x/3)] - Sin[(x/3)] Cos[(x/3)] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
x = ±((3 π)/2) + 
            6  k π  ∧ k ∈ ℤ

Př. 16   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          3(cotg^2) (x/2)-(Sqrt[3])cotg (x/2)=0

Reduce[3  Cot[(x/2)]^2 - (Sqrt[3]) Cot[(x/2)] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = ((2  π)/3) + 2  k π ∨ 
                x = π + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 17   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (tg^2) 6  x + tg 6  x=0

Reduce[Tan[6  x]^2 + Tan[6  x] == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = k (( π)/6) ∨ 
                x = -(π/24) + k (π/6))  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 18   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (Sqrt[3])tg 2  x-(tg^2) 2x=0

Reduce[(Sqrt[3]) Tan[2  x] - Tan[2  x]^2 == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/6) + k (( π)/2) ∨ 
                x = k (π/2))  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 19   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          sin (2  x - (π/4)) = cos (π/4)

Reduce[Sin[2  x - (π/4)] == Cos[(π/4)], x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = -(π/2) + k π ∨ 
                x = (π/4) + k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 20   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          sin ((x/3) + (π/6)) = sin (π/4)

Reduce[Sin[(x/3) + (π/6)] == Sin[(π/4)], x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/4) + 6  k π ∨ 
                x = ((7  π)/4) + 6  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 21   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2  cos (2  x + (π/4)) = (Sqrt[2])

Reduce[2  Cos[2  x + (π/4)] == (Sqrt[2]), x] // Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x=k π∨x=-(π/4) + k π) ∧k ∈ ℤ

Př. 22   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          (Sqrt[2]) cos (2  π + 2  x) = -1

Reduce[(Sqrt[2]) Cos[4  π + 2  x] == -1, x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
x = ±((3  π)/8) + 
            k π ∧ k ∈ ℤ

Př. 23   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          tg ((x/3) - (π/6)) = sin π

Reduce[Tan[(x/3) - (π/6)] == Sin[π], x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
x = (π/2) - 3  k π ∧ 
          k ∈ ℤ

Př. 24   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          cotg ((x/2) + (π/6)) = cos π

Reduce[Cot[(x/2) + (π/6)] == Cos[π], x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
x = -((5  π)/6) + 2  k π ∧ 
          k ∈ ℤ

Př. 25   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2  (sin^2) x - 7  sin x + 3 = 0

Reduce[2  Sin[x]^2 - 7  Sin[x] + 3 == 0, x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = (π/6) + 2  k π ∨ 
                x = ((5  π)/6) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 26   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          4  (sin^2) x - 4  sin x - 3 = 0

Reduce[4  Sin[x]^2 - 4  Sin[x] - 3 == 0, x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = -(π/6) + 2  k π ∨ 
                x = ((7  π)/6) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 27   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2  (cos^2) x - 3  cos x + 1 = 0

Reduce[2  Cos[x]^2 - 3  Cos[x] + 1 == 0, x]

Řešení v oboru ℝ:
(x = ±(π/3) + 
                  2  k π ∨ x = 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 28   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          2  (cos^2) x + cos x - 1 = 0

Reduce[2  Cos[x]^2 + Cos[x] - 1 == 0, x] // Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = ±π + 2  k π ∨ 
                x = ±(π/3) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 29   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          4  (sin^2) x + 8  sin x + 3 = 0

Reduce[4  Sin[x]^2 + 8  Sin[x] + 3 == 0, x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
(x = -(π/6) + 2  k π ∨ 
                x = ((7  π)/6) + 2  k π)  ∧ 
        k ∈ ℤ

Př. 30   Řešte v oboru ℝ goniometrickou rovnici, předpokládejte přípustné hodnoty x:

          4  (cos^2) x + 4  cos x - 3 = 0

Reduce[4  Cos[x]^2 + 4  Cos[x] - 3 == 0, x] // 
      Simplify

Řešení v oboru ℝ:
x = ±(π/3) + 
            2  k π ∧ k ∈ ℤ

3.8 Iracionální rovnice

Př. 1   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[5 + x]) + (Sqrt[5 - x]) = 4

Solve[(Sqrt[5 + x]) + (Sqrt[5 - x]) == 4, x]

Př. 2   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[7 + x]) + (Sqrt[7 - x]) = (Sqrt[14])

Solve[(Sqrt[7 + x]) + (Sqrt[7 - x]) == (Sqrt[14]), x]

Př. 3   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x + 2]) + (Sqrt[x - 2]) = (Sqrt[2  x + 3])

Solve[(Sqrt[x + 2]) + (Sqrt[x - 2]) == (Sqrt[2  x + 3]), x]

Př. 4   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x + 8]) + (Sqrt[x - 8]) = (Sqrt[2  x + 12])

Solve[(Sqrt[x + 8]) + (Sqrt[x - 8]) == (Sqrt[2  x + 12]), x]

Př. 5   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[3  x + 4]) + (Sqrt[x - 4]) = 2 (Sqrt[ x])

Solve[(Sqrt[3  x + 4]) + (Sqrt[x - 4]) == 2 (Sqrt[ x]), x]

Př. 6   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2  x + 1]) + (Sqrt[x - 3]) = (Sqrt[3  x - 2])

Solve[(Sqrt[2  x + 1]) + (Sqrt[x - 3]) == (Sqrt[3  x - 2]), 
      x]

Př. 7   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2  x + 3]) + (Sqrt[x + 1]) = (Sqrt[3  x + 4])

Solve[(Sqrt[2  x + 3]) + (Sqrt[x + 1]) == (Sqrt[3  x + 4]), 
      x]

Př. 8   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x]) + (Sqrt[x - 3]) = (Sqrt[3 (x - 1)])

Solve[(Sqrt[x]) + (Sqrt[x - 3]) == (Sqrt[3 (x - 1)]), x]

Př. 9   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2  x]) + (Sqrt[x + 5]) = (Sqrt[5  x + 5])

Solve[(Sqrt[2  x]) + (Sqrt[x + 5]) == (Sqrt[5  x + 5]), x]

Př. 10   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[3  x]) + (Sqrt[2  x + 5]) = (Sqrt[7  x + 5])

Solve[(Sqrt[3  x]) + (Sqrt[2  x + 5]) == (Sqrt[7  x + 5]), 
      x]

Př. 11   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2  x + (Sqrt[8  x + 1])]) = 1

Reduce[(Sqrt[2  x + (Sqrt[8  x + 1])]) == 1, x]

Př. 12   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[(Sqrt[x + 7]) - x]) = 1

Reduce[(Sqrt[(Sqrt[x + 7]) - x]) == 1, x]

Př. 13   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x - (Sqrt[8  x - 7])]) = (Sqrt[2])

Reduce[(Sqrt[x - (Sqrt[8  x - 7])]) == (Sqrt[2]), x]

Př. 14   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[(Sqrt[11 - x]) + x]) = (Sqrt[5])

Reduce[(Sqrt[(Sqrt[11 - x]) + x]) == (Sqrt[5]), x]

Př. 15   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2 - (Sqrt[x])]) - (Sqrt[x]) = 0

Reduce[(Sqrt[2 - (Sqrt[x])]) - (Sqrt[x]) == 0, x]

Př. 16   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[5 + (Sqrt[x + 1])]) = (Sqrt[x])

Reduce[(Sqrt[5 + (Sqrt[x + 1])]) == (Sqrt[x]), x]

Př. 17   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[3 + (Sqrt[5 - (x^2)])]) = (Sqrt[2  x])

Reduce[(Sqrt[3 + (Sqrt[5 - (x^2)])]) == (Sqrt[2  x]), x]

Př. 18   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          3  x - (Sqrt[(x^2) + 3]) = 1

Reduce[3  x - (Sqrt[(x^2) + 3]) == 1, x]

Př. 19   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2  x + (Sqrt[3  x + 1])]) = (Sqrt[x + 3])

Reduce[(Sqrt[2  x + (Sqrt[3  x + 1])]) == (Sqrt[x + 3]), x]

Př. 20   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[2 (Sqrt[ x + 5]) + x]) = (Sqrt[5 + 2  x])

Reduce[(Sqrt[2 (Sqrt[ x + 5]) + x]) == (Sqrt[5 + 2  x]), x]

Př. 21   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[(Sqrt[4 + 5  (x^2)]) - 3]) = (Sqrt[x + 1])

Reduce[(Sqrt[(Sqrt[4 + 5  (x^2)]) - 3]) == (Sqrt[x + 1]), x]

Př. 22   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          \(TraditionalForm\`\@\(3  x + 3\) + \@\(\(4\/3\) x\) = \@\(x\/3 + 7\)\)

Reduce[(Sqrt[3  x + 3]) + (Sqrt[(4/3) x]) == (Sqrt[(x/3) + 7]), 
      x]

Př. 23   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          ((Sqrt[x]) - 5) ((Sqrt[x]) - 7) == 3

Reduce[((Sqrt[x]) - 5) ((Sqrt[x]) - 7) == 3, x]

Př. 24   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[3  x]) = 6 + (Sqrt[27  x])

Reduce[(Sqrt[3  x]) == 6 + (Sqrt[27  x]), x]

V oboru ℝ rovnice nemá řešení. Zobrazíme ještě grafickou závislost levé (červeně) a pravé (modře) strany rovnice na x pro x ≥ 0:

Plot[{(Sqrt[3  x]), 6 + (Sqrt[27  x])}, {x, 0, 10}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}]

Grafy se neprotínají, tj. v oboru ℝ rovnice nemá řešení.

Př. 25   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x - 4]) - (Sqrt[x + 4]) = 2

Reduce[(Sqrt[x - 4]) - (Sqrt[x + 4]) == 2, x]

V oboru ℝ rovnice nemá řešení. Zobrazíme ještě grafickou závislost levé (červeně) a pravé (modře) strany rovnice na x pro x ≥ 4:

Plot[{(Sqrt[x - 4]) - (Sqrt[x + 4]), 2}, {x, 4, 10}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}]

Grafy se neprotínají, tj. v oboru ℝ rovnice nemá řešení.

Př. 26   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x + 5]) - (Sqrt[x - 3]) = 2

Reduce[(Sqrt[x + 5]) - (Sqrt[x - 3]) == 2, x]

Př. 27   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[22 - x]) - (Sqrt[10 - x]) = 2

Reduce[(Sqrt[22 - x]) - (Sqrt[10 - x]) == 2, x]

Př. 28   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x]) - (Sqrt[x - 7]) = 2

Reduce[(Sqrt[x]) - (Sqrt[x - 7]) == 2, x]

Př. 29   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x + 3]) + (Sqrt[x]) = 4

Reduce[(Sqrt[x + 3]) + (Sqrt[x]) == 4, x]

Př. 30   Řešte v oboru ℝ iracionální rovnici:

          (Sqrt[x + 5]) + (Sqrt[x]) = (Sqrt[2])

Reduce[(Sqrt[x + 5]) + (Sqrt[x]) == (Sqrt[2]), x]

V oboru ℝ rovnice nemá řešení. Zobrazíme ještě grafickou závislost levé (červeně) a pravé (modře) strany rovnice na x pro x ≥ 0:

Plot[{(Sqrt[x + 5]) + (Sqrt[x]), (Sqrt[2])}, {x, 0, 10}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}]

Grafy se neprotínají, tj. v oboru ℝ rovnice nemá řešení.

3.9 Exponenciální rovnice

Př. 1   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^(2  x)) + (3^(x + 2)) - 36 == 0

Solve[(3^(2  x)) + (3^(x + 2)) - 36 == 0, x]

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> 1. Systém Mathematica hlásí, že nemusela být nalezena všechna řešení a doporučuje použít Reduce.

Reduce[(3^(2  x)) + (3^(x + 2)) - 36 == 0, x]

Získali jsme úplné řešení v oboru komplexních čísel. Řešení v oboru reálnách čísel z toho na první pohled není patrno, získáme je však, když dosadíme za (Subscript[c, 1]) -> 0, obdržíme řešení x -> 0.

V dalších výpočtech exponenciálních rovnic budeme používat jen Solve, a to i přes doporučení Reduce.  Řešení budeme pro názornost zobrazovat i graficky, přičemž červená křivka bude příslušet výrazu na levé straně rovnice a modrá křivka pak výrazu na její pravé straně.

Plot[{(3^(2  x)) + (3^(x + 2)) - 36, 0}, {x, -1, 2}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 2   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          9*(3^x) + (81/(3^x)) == 90

Solve[9*(3^x) + (81/(3^x)) == 90, x]

Plot[{9*(3^x) + (81/(3^x)), 90}, {x, -1, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 3   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (25^(2  x)) - 3*(25^x) = 10

Solve[(25^(2  x)) - 3*(25^x) == 10, x]

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> (1/2).

Plot[{(25^(2  x)) - 3*(25^x), 10}, {x, -1, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 4   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          7 + (1/(2^x)) = (2^(x + 3))

Solve[7 + (1/(2^x)) == (2^(x + 3)), x]

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> 0.

Plot[{7 + (1/(2^x)), (2^(x + 3))}, {x, -6, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 5   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^x) - 8 = 9*(3^(-x))

Solve[(3^x) - 8 == 9*(3^(-x)), x]

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> 2.

Plot[{(3^x) - 8, 9*(3^(-x))}, {x, 0, 4}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 6   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (2^(4  x)) + (2^(4 - 4  x)) = 8

Solve[(2^(4  x)) + (2^(4 - 4  x)) == 8, x]

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> (1/2).

Plot[{(2^(4  x)) + (2^(4 - 4  x)), 8}, {x, 0, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 7   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (2^(4  x)) + 3 = (2^(2  x)) - 5 (1 - (2^(2  x)))

Solve[(2^(4  x)) + 3 == (2^(2  x)) - 5 (1 - (2^(2  x))), 
      x]

V oboru ℝ byla nalezena řešení {x -> (1/2),  x -> 1}.

Plot[{(2^(4  x)) + 3, (2^(2  x)) - 5 (1 - (2^(2  x)))}, {x, 0, 
        1.3}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 8   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^x) + (3^(x + 1)) = 7*(4^x) - (4^(x + 1))

Solve[(3^x) + (3^(x + 1)) == 7*(4^x) - (4^(x + 1)), 
      x]
% // Simplify

Plot[{(3^x) + (3^(x + 1)), 7*(4^x) - (4^(x + 1))}, {x, -0.5, 1.8}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 9   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (2^(x - 1)) - (2^(x - 2)) = (5^(x - 2))

Solve[(2^(x - 1)) - (2^(x - 2)) == (5^(x - 2)), x]

Plot[{(2^(x - 1)) - (2^(x - 2)), (5^(x - 2))}, {x, -1, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 10   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (6^(3  x + 1)) - (6^(3  x)) = 246 - (6^(3  x - 2))

Solve[(6^(3  x + 1)) - (6^(3  x)) == 246 - (6^(3  x - 2)), x] // 
      Simplify
% // N

Plot[{(6^(3  x + 1)) - (6^(3  x)), 246 - (6^(3  x - 2))}, {x, 0, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 11   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          7*(3^(x + 1)) - (5^(x + 2)) == 
          (3^(x + 4)) - (5^(x + 3))

Solve[
      7*(3^(x + 1)) - (5^(x + 2)) == (3^(x + 4)) - (5^(x + 3)), 
      x]
% // Simplify

Plot[{7*(3^(x + 1)) - (5^(x + 2)), 
        (3^(x + 4)) - (5^(x + 3))}, {x, -5, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 12   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^x)*((((1/2)))^x) + (3^(x + 1))*((((1/2)))^(x + 1)) = 
          (5/3)

Solve[
      (3^x)*((((1/2)))^x) + (3^(x + 1))*((((1/2)))^(x + 1)) == (5/3), 
      x]
% // Simplify

Plot[{(3^x)*((((1/2)))^x) + (3^(x + 1))*((((1/2)))^(x + 1)), 
        (5/3)}, {x, -5, 2}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 13   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          ((((4/9)))^x)*((((27/8)))^(x - 1)) = (2/3)

Solve[((((4/9)))^x)*((((27/8)))^(x - 1)) == (2/3), x]

Plot[{((((4/9)))^x)*((((27/8)))^(x - 1)), (2/3)}, {x, -2, 5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 14   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (81/16) = ((((2/3)))^x)*((((9/4)))^(x + 1))

Solve[(81/16) == ((((2/3)))^x)*((((9/4)))^(x + 1)), 
      x]

Plot[{(81/16), ((((2/3)))^x)*((((9/4)))^(x + 1))}, {x, -2, 5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 15   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (64/25)*((((8/5)))^((3/(x - 1)))) = ((((125/512)))^3)

Solve[(64/25)*((((8/5)))^((3/(x - 1)))) == ((((125/512)))^3), 
      x]

Plot[{(64/25)*((((8/5)))^((3/(x - 1)))), ((((125/512)))^3)}, {x, 0.5, 
        0.9}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 16   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (1/125)*(Sqrt[(25^(3  x - 1))]) = (125^((2/3)))

Solve[(1/125)*(Sqrt[(25^(3  x - 1))]) == (125^((2/3))), 
      x]
% // N

V oboru ℝ bylo nalezeno řešení x -> 2.

Plot[{(1/125)*(Sqrt[(25^(3  x - 1))]), (125^((2/3)))}, {x, 0.5, 2.5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 17   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (((4^x))^(1/4))*(((2^(x - 2)))^(1/3)) = (16^(1/6))

Solve[(((4^x))^(1/4))*(((2^(x - 2)))^(1/3)) == (16^(1/6)), 
      x]

Plot[{(((4^x))^(1/4))*(((2^(x - 2)))^(1/3)), (16^(1/6))}, {x, 0, 2.5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 18   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (1/(3^x)) = (((27^(3 - 3  x)))^(1/6))*((((1/9)))^(x + 3))

Solve[(1/(3^x)) == (((27^(3 - 3  x)))^(1/6))*((((1/9)))^(x + 3)), 
      x]

Plot[{(1/(3^x)), (((27^(3 - 3  x)))^(1/6))*((((1/9)))^(x + 3))}, {x, -2, -1}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 19   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          64 (Sqrt[((((1/4)))^5)]) = (2^((Sqrt[x + 1])))

Solve[64 (Sqrt[((((1/4)))^5)]) == (2^((Sqrt[x + 1]))), x]

Plot[{64 (Sqrt[((((1/4)))^5)]), (2^((Sqrt[x + 1])))}, {x, -1, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 20   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (0.25^((Sqrt[(x^2) + x]))) = (2^(1 - 2  x))

Solve[(0.25^((Sqrt[(x^2) + x]))) == (2^(1 - 2  x)), x]

V oboru ℝ rovnice nemá řešení.

Prověřme ještě výraz na levé straně rovnice. V oboru ℝ musí být odmocněnec v exponentu nezáporný, což vede na kvadratickou nerovnost

Reduce[(x^2) + x ≥ 0, x]

Zobrazíme tedy grafy tyto intervaly:

Plot[{(0.25^((Sqrt[(x^2) + x]))), (2^(1 - 2  x))}, {x, -2, -1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]
Plot[{(0.25^((Sqrt[(x^2) + x]))), (2^(1 - 2  x))}, {x, 0, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Grafy se neprotínají, rovnice tedy nemá v oboru ℝ řešení.

Př. 21   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (32^x) (4/(2^x)) = (4^(1/x))

Solve[(32^x) (4/(2^x)) == (4^(1/x)), x]

V oboru ℝ byla nalezena řešení x -> -1, x -> (1/2).

Pro vzkreslení grafu je třeba nejdříve vyšetřit body nespojitosti. Výraz na pravé straně rovnice přepíšeme takto:
    (4^(1/x)) = (4^((1/x)))  a y toho je již patrné, že jmenovatel zlomku v exponentu nesmí být roven nule. Zobrazíme tedy grafy pro x < 0 a graf pro x > 0 :

Plot[{(32^x) (4/(2^x)), (4^(1/x))}, {x, -2, -0.1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]
Plot[{(32^x) (4/(2^x)), (4^(1/x))}, {x, 0.2, 1}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 22   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          \(\(3*8\^\(4 - x\)*6\^\(x - 7\)\)\/\(2\^\(-x\)*9\^\(x - 2\)\) = 1\/3\^\(x + 2\)\)

Solve[((3*(8^(4 - x))*(6^(x - 7)))/((2^(-x))*(9^(x - 2)))) == (1/(3^(x + 2))), x]

Plot[{((3*(8^(4 - x))*(6^(x - 7)))/((2^(-x))*(9^(x - 2)))), 
        (1/(3^(x + 2)))}, {x, 4, 8}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 23   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          \(\(2\^\(x + 3\)*3\^\(x + 2\)\)\/\(6\^\(7 - x\)*8\^\(x - 1\)\) = 9\^\(x - 2\)\/3\)

Solve[(((2^(x + 3))*(3^(x + 2)))/((6^(7 - x))*(8^(x - 1)))) == ((9^(x - 2))/3), x]

Plot[{(((2^(x + 3))*(3^(x + 2)))/((6^(7 - x))*(8^(x - 1)))), 
        ((9^(x - 2))/3)}, {x, -3, 0}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 24   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (((27^x)*(4^x))/((4^(x + 1))*(3^(2  x)))) = 
          (9/(2^(3 - x)))

Solve[(((27^x)*(4^x))/((4^(x + 1))*(3^(2  x)))) == 
          (9/(2^(3 - x))), x] // Simplify
% // N

Plot[{(((27^x)*(4^x))/((4^(x + 1))*(3^(2  x)))), 
        (9/(2^(3 - x)))}, {x, 2, 5}, PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 25   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^(x + 2)) = (3^x) + 2

Solve[(3^(x + 2)) == (3^x) + 2, x]
% // N

Plot[{(3^(x + 2)), (3^x) + 2}, {x, -3, 1.5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 26   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (2^x)*(3^x) = (4^(x - 1))

Solve[(2^x)*(3^x) == (4^(x - 1)), x] // 
      Simplify
% // N

Plot[{(2^x)*(3^x), (4^(x - 1))}, {x, -5, -3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 27   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (3^(x + 2)) - (5^x) = (3^(x + 4)) - (5^(x + 2))

Solve[(3^(x + 2)) - (5^x) == (3^(x + 4)) - (5^(x + 2)), x] // 
      Simplify
% // N

Plot[{(3^(x + 2)), (3^(x + 4)) - (5^(x + 2))}, {x, 0, 3}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 28   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (Subscript[log, 3])((3^x) + 8) = x + 2

Solve[Log[3, (3^x) + 8] == x + 2, x]

Plot[{Log[3, (3^x) + 8], x + 2}, {x, -5, 5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, AxesLabel -> {x, y}]

Př. 29   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (Subscript[log, 4])((4^(x + 1)) - 48) = x

Solve[Log[4, (4^(x + 1)) - 48] == x, x]

Plot[{Log[4, (4^(x + 1)) - 48], x}, {x, 1.8, 2.5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

Př. 30   Řešte v oboru ℝ exponenciální rovnici:

          (Subscript[log, 2])(3+(2^(x + 1)))=x + 3

Solve[Log[2, 3 + (2^(x + 1))] == x + 3, x]

Plot[{Log[2, 3 + (2^(x + 1))], x + 3}, {x, -2.5, 5}, 
      PlotStyle -> {Red, Blue}, 
      AxesLabel -> {x, y}]

3.10 Logaritmické rovnice

Př. 1   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          log(2  x + 4) + log(x - 2) = 2  log x

Solve[Log[10, 2  x + 4] + Log[10, x - 2] == 2  Log[10, x], 
      x]

Př. 2   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          (Subscript[log, 3])(8  x)-(Subscript[log, 3])((x^2)-1)=1

Solve[Log[3, 8  x] - Log[3, (x^2) - 1] == 1, x]

Př. 3   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          (Subscript[log, (1/2)])((x^2)-2)=1+2(Subscript[log, (1/2)]) x

Solve[Log[(1/2), (x^2) - 2] == 1 + 2  Log[(1/2), x], x]

Př. 4   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          log((9/2) - x)=log  (9/2)-log x

Solve[Log[10, (9/2) - x] == Log[10, (9/2)] - Log[10, x], 
      x]

Př. 5   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          (Subscript[log, 2])(x + 6)+(Subscript[log, 2])(6 - x)=3

Solve[Log[2, x + 6] + Log[2, 6 - x] == 3, x]

Př. 6   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          (Subscript[log, 5])(x + 1)+(Subscript[log, 5])(4x+1)=0

Solve[Log[5, x + 1] + Log[5, 4  x + 1] == 0, x]

Př. 7   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          ((log(2  x + 13))/(log(x + 5)))=2

Solve[Log[10, 2  x + 13]/Log[10, x + 5] == 2, x]

Př. 8   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          ((log x+log (2  x+1))/(log(x + 10)))=1

Solve[((Log[10, x] + Log[10, 2  x + 1])/Log)[10, x + 10] == 1, 
      x]

Př. 9   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          ((log (2x-10)-log (x - 3))/(log(x + 3)))=1

Solve[((Log[10, 2  x - 10] - Log[10, x - 3])/Log)[10, x + 3] == 
        1, x]

Př. 10   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          ((log (2x+4)+3)/(3-log(2x+4)))=5

Solve[((Log[10, 2  x + 4] + 3)/(3 - Log[10, 2  x + 4])) == 5, 
      x]

Př. 11   Řešte v oboru ℝ logaritmickou rovnici:

          ((1+log x)/(2+log x))+((2log (x)-1)/(log x))=3

Solve[((1 + Log[10, x])/(2 + Log[10, x])) + ((2  Log[10, x] - 1)/Log)[10, x] == 3, x]